Question

Найти dy/dx и d^2 y/ dx^2 параметрически заданной функциих= arccos корень из ty= корень из t-t^2

Answer 1

Найти dy/dx и d²y/dx² параметрически заданной функции
х= arccos(корень(t))
y= корень(t-t²)

Решение. Найдем первую производную
dy/dx =(dy/dt)/(dx/dt)
Отдельно находим производные xt' и yt'
dx/dt = (arccos(корень(t)))'= (-1/(корень(1-t))*(корень(t))'=(-1/(корень(1-t))*(1/(2корень(t))=-1/(2*tкорень(1-t))

$frac{dx}{dt} = (arccos(sqrt{t}))'=frac{-1}{sqrt{1-(sqrt{t})^{2}}}*(sqrt{t})'= frac{-1}{sqrt{1-t}}*frac{1}{2sqrt{t}}=-frac{1}{2sqrt{t-t^{2}}}$

dy/dt = (корень(t-t²))' = (1/(2корень(t-t²)))*(t-t²)'=(1/(2корень(t-t²)))*(1-2t)=
= (1-2t)/(2корень(t-t²))

$frac{dy}{dt}= (sqrt{t-t^{2}})' = frac{1}{2sqrt{t-t^{2}}}*(t-t^{2})'= frac{1}{2sqrt{t-t^{2}}}*(1-2t)=frac{1-2t}{2sqrt{t-t^{2}}}$

Следовательно:

$frac{dy}{dx}= frac{1-2t}{2sqrt{t-t^{2}}}:-frac{1}{2sqrt{t-t^{2}}}=frac{1-2t}{2sqrt{t-t^{2}}}*(-2sqrt{t-t^{2}})=2t-1$

Найдем d²y/dx² (вторую производную): 
y’’ = [d(dy/dx)/dt]/[dx/dt]
 
$frac{dfrac{dy}{dx}}{dt}=(2t-1)'=2$

$y$