Question

в треугольнике ABC на стороне BC , как на диаметре построена окружность , пересекающая сторону BA в точке M . найти отношение S треугольника ABC и треугольника BCM , если AC = 15 , BC = 20 , угол ABC = углу ACM.

Answer 1

Треугольник АВС прямоугольный:
обозначим равные углы (угол ABC = углу ACM.) за α.
Угол ВМС = 90° как вписанный угол, опирающийся на диаметр.
Смежный с ним угол АМС = 180 - 90 =90°.
Угол ВАС = МАС = 90 - α.
Тогда угол ВСА = 180-α-(90-α) = 90°.
Высота СМ треугольника АВС равна h = (2√(p(p-a)(p-b)(p-c)) / a или h = 2S / a = 2*((1/2)*15*20) / 25 = 300 / 25 = 12.
Сторона а (гипотенуза) равна √(15²+20²) = √625 = 25.
Площадь треугольника АВС = (1/2)*15*20= 150.
Катет АМ треугольника АМС равен √(15²-12²) = √(225-144) = √81 = 9. Площадь треугольника АМС равна (1/2)*9*12 = 
=54.
Отношение площадей  заданных треугольников равно
150/54 = 25 / 9 = 5² / 3² = (5/3)².
Этот вывод можно получить из соотношения сторон подобных  треугольников:
Подобные стороны относятся:к = ВС / СМ = 20 / 12 = 5 / 3.
Площади подобных треугольников относятся как квадраты подобных сторон, то есть (5/3)².