Question

Найдите
наибольшее целое положительное число X, при котором ложно высказывание:

(x(x+2)>54)→(x2>80)

Answer 1

1. Находим решение первого неравенства.
$x(x+2)>54; x^2+2x-54 >0$
Для того, чтобы решить неравенство, попытаемся сначала определить, если ли у квадратного трехчлена, стоящего в левой части, нули.
$x^2+2x+54=0; D=4+4*54=4*55$
Поскольку дискриминант положительный, имеются два вещественных корня.
Найдем их.
$sqrt{D}=2 sqrt{55}; x= frac{-2mp 2 sqrt{55}}{2}=-1mp sqrt{55}$
Вспоминаем, что график квадратного трехчлена - парабола, ветви которой направлены вверх, если коэффициент при квадрате х положительный. Следовательно, левая часть неравенства будет положительной, когда аргумент будет или меньше меньшего из найденных корней уравнения, или больше большего.
$x in (-infty;-1- sqrt{55}) cup (-1+ sqrt{55};+infty)$
Теперь следует решить второе неравенство.
$x^2>80; |x|>sqrt{80} to x in (-infty;- 4sqrt{5}) cup ( 4sqrt{5};+infty)$
Поскольку нас интересует решение в натуральных числах, вычислим значения выражений, содержащих радикалы, с точностью до 1 знака после запятой. В дальнейшем мы заменим их натуральными числами.
Решения неравенств примут вид:
$x in (-infty;-8.4) cup (6.4;+infty) \ x in (-infty;-8.9) cup (8.9;+infty)$
Исходное высказывание схематически выгладит как a ⇒ b
Найдем схематическое выражение, соответствующее его отрицанию и заменим a,b на найденные решения неравенств.
$F=a to b = overline a lor b; \ overline F=overline{overline a lor b}=a land overline b; \ F=(x in (-infty;-8.4) cup (6.4;+infty)) land overline{x in (-infty;-8.9) cup (8.9;+infty)}= \ (x in (-infty;-8.4) cup (6.4;+infty)) land (x in [-8.9;8.9])= \ (x in (-infty;-8.4) cap [-8.9;8.9]) cup (x in (6.4;+infty) cap [-8.9;8.9])= \ (x in [-8.9;-8.4)) cup (x in (6.4;8.9])=x in [-8.9;-8.4) cup (6.4;8.9];$
Теперь заменяем приближенные числа натуральными и находим окончательное решение.
$x in false cup [7;8] to x=8$
Ответ: х=8