Question

решите симметрическую систему уранений

Answer 1

x²+xy+y²=3
xy(x²+y²)=2

x²+xy+y²-3=0
x³y+xy³-2=0
Пусть x+y = u, xy = v

u²-v-3=0
u²v-2v²-2=0

u²-v-3=0
(u²-v-3)-(u²v-2v²-2)=0
-Проработаем со вторым уравнением
u²(1-v)+(-v-1+2v²)=0
-u²(-1+v)+(-1+v)(2v+1)=0
(-1+v)(-u²+2v+1)=0
Имеем что

u²-v-3=0
(-1+v)(-u²+2v+1)=0
Имеем 2 системы

u²-v-3=0                   также        u²-v-3=0
-1+v=0                                       -u²+2v+1=0
          
v=1                                            u²-v-3=0
u=$pm2$                       v-2=0
      
                                                  v=2
                                                   u= $pm sqrt{5}$
Обратная замена:
I Система
x+y=-2
xy=1

x=-2-y
(-2-y)y=1

y²+2y+1=0
(y+1)²=0
y=-1
x=-1             - Первая пара решение системы (-1;-1)


II система

x+y=2
xy=1

x=2-y
(2-y)y=1

y²-2y+1=0
(y-1)²=0
y=1
x=1    - Вторая пара решение системы (1;1)

III cистема

x+y=-√5
xy=2

x=-√5 - y
(-√5-y)y=2

y²+√5y+2=0
D=b² -4ac = -3 < 0. Нет решений.

Ответ: (-1;-1), (1;1)

Answer 2

$left { {{ x^{2} +xy+y ^{2} =3} atop {xy( x^{2}+y ^{2}) =2}} right. \ left { {{ x^{2} +y ^{2} =3-xy} atop {xy(3-xy)=2}} right.$
Решаем второе уравнение относительно xy
xy(3-xy)=2
-(xy)²+3(xy)-2=0
или
(xy)²-3(xy)+2=0
квадратное уравнение
D=9-8=1
(xy)=(3-1)/2=1    или ху=(3+1)/2=2
тогда
х²+у²=3-1=2      или  х²+у³=3-2=1
Решаем две системы.

$А) left { {{xy=1} atop { x^{2} +y ^{2} =2}} right. \ left { {{2xy=2} atop { x^{2}+y ^{2} =2}} right.$
умножили первое уравнение на (2) и
сложим уравнения,  получим формулу квадрата суммы (х+у)²=4  ⇒х+у=2    или х+у = -2
при этом ху=1
Снова две системы
$1) left { {{x+y=2} atop {xy=1}} right. Rightarrow left { {{y=2-x} atop {x(2-x)=1}} right.$
Решаем второе уравнение
2x-x²=1⇒x²-2x+1=0  ⇒ (x-1)²=0    ⇒  x₁=1  тогда у₁=2-1=1
$2) left { {{x+y=-2} atop {xy=1}} right. Rightarrow left { {{y=-2-x} atop {x(-2-x)=1}} right.$
Решаем второе уравнение
-2x-x²=1⇒x²+2x+1=0  ⇒ (x+1)²=0    ⇒  x₂=-1  тогда у₂=-2-(-1)=-1
$В) left { {{xy=2} atop { x^{2} +y ^{2} =1}} right. \ left { {{2xy=4} atop { x^{2}+y ^{2} =1}} right.$
умножили первое уравнение на (2) и
сложим уравнения,  получим формулу квадрата суммы (х+у)²=5  ⇒х+у=√5    или х+у = -√5
при этом ху=2
Снова две системы
$1) left { {{x+y=sgrt{5}} atop {xy=2}} right. Rightarrow left { {{y=sgrt{5}-x} atop {x(sgrt{5}-x)=2}} right.$
Решаем второе уравнение
√5x-x²=2⇒x²-√5·x+2=0 
D=(√5)²-4·2<0 уравнение не имеет решений
Значит эта  система не имеет решений
$2) left { {{x+y=-sgrt{5}} atop {xy=2}} right. Rightarrow left { {{y=-sgrt{5}-x} atop {x(-sgrt{5}-x)=2}} right.$
Решаем второе уравнение
-√5·x-x²=2⇒x²+√5x+1=0 
D=(√5)²-4·2<0 уравнение не имеет решений
Значит и эта система не имеет решений
Ответ. (1;1) (-1;-1)