Question

Помогите! Докажите , что для любого натурального числа n верно равенство:a) n!+(n+1)!=n!(n+2)
б) (n+1)!-n!=n! n
в) (n-1)!+n!+(n+1)!=(n+1)^2(n-1)!
г) (n+1)! -n!+ (n-1)!=(n^2+1)(n-1)!
д) (n+1)!/(n-1)!=n^2+n
у) (n-1)!/n!-n!/(n+1)!= 1/n(n+1)!

Answer 1

а) n!+(n+1)!=n!(n+2)
     n!(1+n+1)=n!(n+2)
     n!(n+2)=n!(n+2)
               1=1
б) (n+1)!-n!=n!n
     n!(n+1-1)=n!n
     n!n=n!n
       1=1
в) (n-1)!+n!+(n+1)!=(n+1)²(n-1)!
    (n-1)! (1+n+n(n+1))=(n+1)²(n-1)!
     (n-1)!(1+n+n²+n)=(n+1)²(n-1)!
     (n-1)! (1+2n+n²)=(n+1)²(n-1)!
(n+1)²(n-1)!=(n+1)²(n-1)!
1=1
г) (n+1)! -n!+ (n-1)!=(n²+1)(n-1)!
(n-1)! (n*(n+1)-n+1)=(n²+1)(n-1)!
(n-1)! (n²+n-n+1)=(n²+1)(n-1)!
(n-1)! (n²+1)=(n²+1)(n-1)!
1=1
д) $frac{(n+1)!}{(n-1)!}=n^2+n \ frac{(n-1)! cdot n cdot (n+1)}{(n-1)!}=n^2+n \ n(n+1)=n^2+n \ n^2+n=n^2+n \ 0=0$

у) $frac{(n-1)!}{n!}-frac{n!}{(n+1)!}= frac{1}{n(n+1)} \ frac{(n-1)!}{(n-1)!n}-frac{n!}{n!(n+1)}= frac{1}{n(n+1)} \ frac{1}{n}-frac{1}{(n+1)}= frac{1}{n(n+1)} \ frac{n+1-n}{n(n+1)}=frac{1}{n(n+1)} \ frac{1}{n(n+1)}=frac{1}{n(n+1)} \ 1=1$