Question

Движение материальной точки можно описать с помощью уравнения r=(2t-2t^2) i + (2t+0.5t^3) j м ( жирным шрифтом выделены вектора). Определите скорость и ускорение материальной точки в момент времени 0,2 с ( не обязательно, но можете определить и момент времени,когда ускорение материальной точки станет равным 5 м/с^2).

Answer 1

По определению, мгновенная скорость точки в данный момент времени дается первой производной радиуса-вектора по времени:
$left.vec v(t_0)equivfrac{dvec r}{dt}right|_{t=t_0}$
Согласно определению, вычислим эту производную:
$vec r=(r_x;r_y)=(2t-2t^2;2t+frac 13 t^3);leftright| partial_tcdot\ vec v=(v_x;v_y)=(2-4t;2+frac 32 t^2).$
Аналогично, определяется и ускорение: мгновенное ускорение есть вторая производная радиуса-вектора по времени:
$left.vec a(t_0)equivfrac{d^2vec r}{dt^2}right|_{t=t_0}$
Считаем:
$vec r=(r_x;r_y)=(2t-2t^2;2t+frac 13 t^3);leftright| partial^2_tcdot\ vec a=(a_x;a_y)=(-4;3t).$
И, отвечая на последний вопрос задачи, потребуем, чтобы модуль ускорения был равен 5 м/с², при этом учтем, чтобы ускорение - это вектор, а как известно, модуль вектора есть корень из суммы квадратов модулей его проекций на каждую из ортогональных осей:
$a=sqrt{a_x^2+a_y^2}=sqrt{16+4t^2}=5;\ 16+4t^2=25;\ t_+=1,5$
Ответ: 
$vec v(t_0)=(2-4t_0;2+1,5t_0^2)=(1,20;2,06);\ vec a(t_0)=(-4;2+3t_0)=(-4,00;0,60);\ t_+=1,5$