Question

Дoкaжитe чтo для любыx нeoтpицaтeльныx чиceл a и b выпoлняeтcя нeрaвeнcтвo $(a+2)(b+2)(a+b) geq 16ab$

Answer 1

Если x и y не  отрицательны  то
(√x-√y)^2>=0
x+y-2√xy>=0
x+y>=2√xy
Откуда   без ограничений  общности:
a+2>=2*√2a
b+2>=2*√2b
a+b>=2√ab
Переумножая все  3 неравенства  получим:
(a+2)(b+2)(a+b)>=8*√2a *√2b*√ab=16ab
(a+2)(b+2)(a+b)>=16ab
Чтд

Answer 2

По неравенству о средних 

$frac{(a+2)(b+2)(a+b)}{16} geq ab\\ frac{a^2b+2a^2+4a+ab^2+2ab+2ab+2b^2+4b}{8} geq 2ab\\ sqrt[8]{a^8*b^8 * 2^8} = 2ab\\ 2ab=2ab$