Question

В равнобедренной трапеции основания равны 9 и 15, диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции.

Answer 1

Задача решается с помощью дополнительного построения ( см. рисунок). Продолжим сторону AD вправо от точки D на отрезок DK=9 см.
DBCK- параллелограмм (противоположные стороны ВС и DK равны и параллельны)
Значит, СК=ВD.
Треугольник АСК равнобедренный, основание АК=15+9=24 см. Высота трапеции СН делит основание равнобедренного треугольника пополам.
АН=НК=12 см.
В прямоугольном треугольнике ACD с основанием AD высота СН делит гипотенузу AD отрезки АН=12 см
Обозначим катет CD=x, катет AC=y
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника CHD: СH²=x²-3²
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АСН: СН²=у²-12²
Составляем уравнение х²-9=у²-144
Из прямоугольного треугольника АСD: x²+y²=15²
Решаем систему двух уравнений:
$left { {{ x^{2} +y ^{2} =225} atop { x^{2}-y ^{2} =135}} right.$

$left { {{2 x^{2} =360} atop { x^{2} -y ^{2} =135}} right.$

x=√180.  y=√45

Из равенства площади прямоугольного треугольника, с одной стороны
половина произведения катетов, с другой - половина произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе, получаем:
АС·СD=AD·CH  ⇒    CH=√180·√45/15=6 см
Площадь трапеции S=(9+15)·6/2=72 кв. см.

Answer 2

Да, у Вас в самом деле проще, но надо знать, что высота прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые она делит гипотенузу.

Answer 3

это и называется средним пропорциональным. так как доказывается из подобия прямоугольных треугольников х/h=h/y