Question

На боковых сторонах АВ и СД трапеции авсд взяты точки М и N так что отрезок MN параллелен основаниям. При этом площадь трапеции MBCN в k раз больше площади трапеции AMND . Найдите длину MN если ВС= а и АД = b

Answer 1

дана трапеция АВСD, ВС=а и АD=b, а < b, продолжим боковые стороны до пересечения в точке К. Получим 3 подобных треугольника КВС, КМN, KAD ( по 3 углам). Примем MN=x. Так как полощади подобных фигур относятся как квадраты их линейных размеров имеем: S(КВС):S(KMN):S(KAD)=a²:x²:b²
S(BCMN)=S(KMN)-S(KBC)
S(AMND)=S(KAD)-S(KMN)
Значит
S(BCMN)/S(AMND)=(x²-a²)/(b²-x²)=k
Отсюда найдем х:
х²-a²=kb²-kx²
x²+kx²=a²+kb²
x²(1+k)=a²+kb²
x²=(a²+kb²)/(1+k)
$x=$$sqrt{ frac{ a^{2}+k b^{2} }{1+k} }$

Answer 2

например рассмотри 3 разных пары подобных треугольников

Answer 3

а по другому никак?

Answer 4

 Другое решение , проведем диагональ  $BD$  . $x;y$ высота    трапеций $MBCN ; AMND$ $z=MN$
Пусть точка $O$ пересечение диагонали с  $MN$  .  Из подобия треугольников  $BOM$   и    $ABD$ 
 $frac{x}{x+y}= frac{n}{b}$     $MO=n$ 
$frac{y}{x+y}= frac{z-n}{a}$ 

 
 откуда        $x = frac{y(z-a)}{b-z}$ 
  Так как площади трапеций 
 $frac{(a+z)*x}{2} = frac{k*(z+b)*y}{2}$  
  то в сумме 
 $(b+z)*y+(b+z)*k*y=(a+b)(x+y)$ 
 подставляя 
 $(b+z)*y+(b+z)*k*y=(a+b)(frac{y(z-a)}{b-z}+y)\ (b+z)(y+ky) = (a+b)frac{y(z-a)}{b-z} + y(a+b)\ (b^2-z^2)(k+1)=(a+b)(z-a)+(a+b)(b-z)\ (b^2-z^2)(k+1)=b^2-a^2\ b^2-z^2=frac{b^2-a^2}{k+1}\ z= sqrt{frac{b^2k+a^2}{k+1}}$