Question

Стороны параллелограмма равны 8 и 11. Найдите большую из диагоналей четырехугольника, образованного пересечениями биссектрис внутренних углов параллелограмма.

Answer 1

Согласно свойств биссектрисы параллелограмма:
1) биссектриса отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник (по свойству накрест лежащие углы равны, а так как биссектриса делит угол на две равные части, то все углы, касающиеся биссектрисы, равны): например, ΔВАG в нем АВ=AG.
2)  биссектрисы параллелограмма ABCD, пересекаясь, образуют прямоугольник HKLM, потому  что биссектрисы смежных углов пересекаются под прямым углом:;
Рассмотрим Δ ВАG и ΔSCD они равны (противолежащие стороны и углы параллелограмма равны) и являются равнобедренными, а потому биссектрисы АН и CL являются одновременно и медианами, и высотами.
Следовательно, HG=LD, кроме того, НG||LD (биссектрисы противоположных углов параллелограмма параллельны), поэтому четырехугольник GHLD- параллелограмм, а тогда HL||GD и HL=GD.
НL и KM является диагоналями прямоугольника НКLM, а диагонали прямоугольника равны.
 HL= GD = AD- АВ= 11-8=3.