Question

В выпуклом четырехугольнике АВСД углы ДАС и ДВС равны. Докажите, что углы СДВ и САВ также равны.

Answer 1

На самом деле в условии неявно предполагается, что точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой CD. В противном случае это не так :).
Я в решении этим пользуюсь.
Все точки, из которых отрезок DC виден под тем же углом, что и из точки А, лежат на дуге CAD окружности, описанной вокруг треугольника ABC.
Доказать это очень просто - если точка B лежит где то в другом месте (в одной полуплоскости с точкой A), то прямая DB или прямая CB пересекает дугу CAD (пересекать дугу могут и обе прямые, но важно именно то, что одна прямая ОБЯЗАТЕЛЬНО пересекает дугу), и из точки пересечения B1 хорда видна под тем же углом, то есть получается треугольник BB1C (или BB1D, берется именно та прямая, которая пересекает дугу CAD), у которого внешний угол равен внутреннему. Чего быть не может :).
Поэтому четырехугольник ABCD вписанный, и углы CDB и CAB опираются на дугу CB. Поэтому они равны. 

Answer 2

Простите я не вникал в суть вашего доказательства,теперь я понял что это одно и тоже.

Answer 3

То есть описать окружность около любого 4 угольника,образованного прямоугольными треугольниками

Answer 4

Про ортотреугольник существует куча задач. Его описанная окружность - это окружность Эйлера, или 9 точек. Сами высоты исходного треугольника в нем - биссектрисы. А вообще любой "продвинутый" учебник уделяет ему много внимания. Самый распространенный в интернете - учебник Понарина.