Question

Периметр ромба 120 см, а його діагоналі відносяться як 3:4. Знайти площу ромба!

Answer 1

Решение:
1) Дан ромб ABCD. Диагонали AC и BD пересекаются в точке О.
По условию, AC/BD=3/4 (т.к. AC меньше BD)
AC=(3/4)*BD=3*BD/4
Периметр ромба равен P=4*AB=120 см, AB=120/4=30 см.
2) Рассмотрим треугольник ABO - прямоугольный (т.к. диагонали ромба взаимно перпендикулярны).
По т. Пифагора $AB^{2}=BO^{2}+AO^{2}$

Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, значит:
BO=BD/2
AO=AC/2=3*BD/8
$30^{2}= frac{BD^{2}}{4}+ frac{9BD^{2}}{64}$
$900= BD^{2}*(frac{16}{64}+ frac{9}{64})$
$900= BD^{2}*frac{25}{64}$
$BD^{2}=900:frac{25}{64}= frac{900*64}{25} =36*64$
$BD= sqrt{36*64} =6*8=48$ см
$AC= frac{3BD}{4}= frac{3*48}{4}=36$ см

3) Площадь ромба через его диагонали находится так:
$S= frac{BD*AC}{2} = frac{48*36}{2}=864$ см^2