Question

Сторони трикутника дорівнюють 30 см, 26 см і 8 см. Обчислити довжину радіуса кола, вписаного в цей трикутник.

Answer 1

Все, что надо сделать - сосчитать ПЛОЩАДЬ треугольника. Возьмите формулу Герона и сосчитайте. Но чтобы ответ соответствовал "правилам" сайта, я предлагаю такой способ :)
Я беру прямоугольный треугольник со сторонами 18, 24, 30 (это "египетский" треугольник, то есть подобный известному треугольнику со сторонами 3,4,5)
От вершины прямого угла вдоль катета длины 18 я откладываю отрезок длины 10 и соединяю со вторым концом другого катета. Получился еще одни прямоугольный треугольник с катетами 10 и 24. Легко найти, что гипотенуза этого треугольника равна 26 (это Пифагорова тройка 10, 24, 26)
Если теперь посмотреть, что осталось от первоначального треугольника, если от него отрезать второй, то как раз получился треугольник со сторонами 26,18 - 10 = 8, 30. То есть - заданный в задаче.
Итак, в заданном треугольнике высота к стороне 8 равна 24. :)
Отсюда площадь равна S = 8*24/2 = 96; 
ПОЛУпериметр p = (8 + 26 + 30)/2 = 32;
Радиус вписанной окружности r = S/p = 3;

Answer 2

Ну, составители таких задач так и поступают - сооружают из пары прямоугольных треугольников с целыми сторонами (то есть Пифагоровых) треугольник "общего вида". Ученику надо показать, что он "владеет" формулой Герона, ну или её аналогом для радиуса, как во втором решении.

Answer 3

На самом деле по длинам сторон можно угадать, какие именно Пифагоровы тройки использованы. Скажем, тут есть 30 и 26, троек с такими "гипотенузами" только 2 (18, 24, 30) и (10, 24, 26), и у них есть совпадающий "катет" 24. Это - все "решение". То есть "угадывать" не так и сложно :)