Question

Шар радиуса sqrt(3) касается всех ребер правильной треугольной пирамиды. Центр шара лежит внутри пирамиды на ее высоте на расстоянии 3 от вершины. Найти высоту пирамиды.

Answer 1

решение будет без рисунка, но объяснять буду подробно, так что сделать рисунок самостоятельно будет не сложно.
Итак, дана SABC- правильная треугольная пирамида, АВС- основание, правильный треугольник. SH- высота пирамиды, точка О- центр шара который касается всех РЕБЕР нашей пирамиды и принадлежит высоте SН, SO=3, а радиус шара R=√3. Итак, поехали) 
1) Проведем радиусы ОР, к точке касания Р со стороной SC и ОК, к точке касания К со стороной АС, по свойству радиуса и касательной они (радиусы и стороны) будут перпендикулярны.
2) Рассмотрим ∆SHC, он прямоугольный, ОР┴SC, SO=3, OP=R=√3, по т. Пифагора SP=√6, ∆SHC~∆SОР (по 3-м углам).
3) Пусть ОН=х, тогда из прямоугольного ∆ОКН, по т. Пифагора НК=√(3-х^2), а значит СН=2√(3-х^2)
4) Из подобия треугольников ∆SHC~∆SОР, составим пропорцию: ОP/HC=SP/SH, 
√3/(2√(3-х^2))=√6/(x+3), 3/(4(3-х^2))=6/(x+3)^2, 3/(12-4х^2)=6/(x^2+6x+9), 3(x^2+6x+9)=6(12-4х^2), 3x^2+18x+27=72-24х^2, 3x^2+2x-5=0, x= 1, SO=3+1=4

Answer 2

Спасибо