Question

ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ :Какие значения может принимать sin ( a+ b + g)если при этих a,b ,g многочлен от x : x^4 + 2^(3sin a) x^2+x(под корнем; 2^(1-sin b) - cosg ) + sin^2b+ cos^2g является квадратом некоторого многочлена относительно х? Задача с факультета ВМК.Я ее не смогла решить. ОЧЕНЬ СЛОЖНАЯ

Answer 1

Рассмотрим сам многочлен в общим виде , для этого откинем $sinb;sina;cosg$  
$x^4+ax^2+bx+c$ по условию он должен быть, квадратом некого многочлена. 
Заметим  что в этом многочлене есть $bx$ , а он не возможен при квадрате , и заметим то что старшая степень равна $4$. 
Тогда наш многочлен есть двучлен  вида $(x^2+t)^2=x^4+2tx^2+t^2$. Что есть частный случаи многочлена. 
Тогда запишем     $x^4+2^{3sina}*x^2+xsqrt{2^{1-sinb}-cosg}+sin^2b+cos^2g=(x^2+a)^2$
То есть  
$2^(1-sinb)=cosg\ t^2=sin^2b+cos^2g$
Заметим что  $sin^2b+cos^2g neq 1$ так как оно противоречит условию $2^(1-sinb)=cosg$  что не имеет решений. 
$t^2=sin^2b+cos^2g$ 
Рассмотрим функцию  $f(a;b)=sin^2b+cos^2g$ очевидно  $max=2\ x=frac{pi}{2};y=-pi$. 
То есть наше значение      $t leq sqrt{2}$. Что согласуется  с значение 
$8^{sina} leq 8\ sina leq 1$. 
Заметим что при   $(x^2+sqrt{2})^2=x^2+2sqrt{2}+2$  
 Выше было сказано при каких значениях это справедливо ,  заметим что 
 $8^{sina}=2sqrt{2}\ sina=frac{1}{2}\ a=frac{pi}{6}$ 
  Тогда $sin(a+b+g)=sin(frac{pi}{6}+frac{pi}{2}-pi)=sin(frac{-2pi}{3})=-frac{sqrt{3}}{2}$ 
Так же с обратным значением оно равно $frac{sqrt{3}}{2}$ 
 Ответ $+-frac{sqrt{3}}{2}$