Question

Помогите найти неопределённый интеграл
$intlimits { frac{dx}{ sqrt{ e^{2x} + e^{x}+1}} }$

Answer 1

Самый кондовый способ      
$intlimits {frac{dx}{sqrt{e^{2x}+e^x+1}}} = intlimits { frac{dx}{sqrt{(e^{x}+frac{1}{2})^2+frac{3}{4}}} } = \\ e^x+frac{1}{2}=u\ e^xdx=du\\ intlimits{frac{du}{(u-frac{1}{2})sqrt{u^2+frac{3}{4}}}}\\ u=frac{sqrt{3}}{2}tga\\ du=frac{sqrt{3}da}{2cos^2a}\\ intlimits {frac{frac{sqrt{3}da}{2cos^2a}}{(frac{sqrt{3}tga}{2}-frac{1}{2})sqrt{frac{3}{4}(tg^2a+1)}}}$
Подставляя получаем 
 $intlimits{frac{2da}{sqrt{3}sina-cosa}}$ 
воспользуемся универсальной тригонометрической заменой 
 $sina=frac{2t}{1+t^2}\ cosa=frac{1-t^2}{1+t^2}\ da=frac{2dt}{1+t^2}\\ intlimits {frac{frac{4dt}{1+t^2}}{sqrt{3}*frac{2t}{1+t^2}-frac{1-t^2}{1+t^2}}} =\\ intlimits {frac{4dt}{t^2+2sqrt{3}t-1} }=\\ intlimits{frac{4dt}{(t+sqrt{3})^2-4}} = |t+sqrt{3}=z ; dt=dz\\ intlimits{frac{4dz}{z^2-4}}=ln(2-z)-ln(2+z)+C=\\ ln(2-t-sqrt{3})-ln(2+t+sqrt{3})+C=$
Заменяя на $t$ и $u$ получаем  
Ответ $x-ln(2sqrt{e^{2x}+e^x+1}+e^x+2)+C$