Question

Вычислить значение выражения cos2a - cos6a если cosa=1/√3

Answer 1

$cosalpha =dfrac 1{sqrt3};~~~~~cos^2alpha =dfrac 13$

Основное тригонометрическое тождество  

sin²α + cos²α = 1      ⇒

$sin^2alpha= 1 - cos^2alpha =1-dfrac 13=dfrac 23$

$cos(2alpha )-cos(6alpha )=\\=2sin Big(dfrac{6alpha -2alpha }2Big)cdot sin Big(dfrac{2alpha +6alpha }2Big)=\\=2sin(2alpha )sin(4alpha ) =\= 2sin(2alpha )cdot 2sin(2alpha )cos(2alpha )=\\=4Big(sin(2alpha )Big)^2cos(2alpha )=\\=4Big(2sin alpha cos alpha Big)^2(2cos^2alpha -1 )=\\=16sin^2 alpha cos^2alpha (2cos^2alpha -1)=$

$=16cdot dfrac 23 cdot dfrac 13cdot Big(2cdot dfrac 13 -1Big)=dfrac {32}9cdot Big(-dfrac 13Big)=\\boxed{=boldsymbol{-1dfrac 5{27}}}$

---------------------------------------------------

Использованы формулы

sin (2α) = 2 sin α cos α

cos (2α) = 2 cos²α - 1

$cosalpha-cosbeta=2sin Big(dfrac{beta -alpha }2Big)cdot sin Big(dfrac{alpha +beta }2Big)$