Question

В треугольнике ABC проведены биссектриса AP и медиана BM пресекаются в точке K. Отношение стороны AC к AB = 5/8. Найти отношение площади треугольника ABK к площади треугольника BKP.

Answer 1

Проведем из вершины $C$ , отрезок    $CL$ и так что бы он проходил через точку   $K$.  
По теореме Чевы   
$frac{CM}{MA}*frac{AL}{LB} * frac{BP}{PC}=1$ 
так как  $AP$ биссектриса , а по свойству 
$frac{AC}{AB}=frac{PC}{BP}=frac{5}{8}$. 
Так как $BM$ медиана , то      $frac{CM}{MA}=1$ 
 $frac{AL}{LB}=frac{5}{8}$  
По теореме  Ван Обеля  
 $frac{AK}{KP}=frac{AM}{MC}+frac{AL}{LB}\ frac{AK}{KP}=frac{13}{8}$    
Пусть угол  $BAP=a$ 
 $S_{BAP}=frac{AB*AP*sina}{2}\ S_{ABK}=frac{AB*frac{13}{21}AP*sina}{2}\ S_{BKP}=S_{BAP}-S_{ABK} = frac{frac{8AB*AP*sina}{21}}{2}\\ frac{S_{ABK}}{S_{BKP}}=frac{13}{8}$     
   
 
Ответ $frac{13}{8}$