Question

Через точку (1;1) проходят две касательные к графику функции $f(x) = 2x^2 + 4x + 3$. Сумма абсцисс точек касания равна?

Answer 1

Уравнение касательной в точке х =а имеет вид

у = f(a) + f'(a)·(x - a)

f(a) = 2а² + 4а + 3

f'(х) = 4х + 4

f'(а) = 4а + 4 = 4(1 + а)

Известно, что у = 1 при х = 1, тогда

1 = 2а² + 4а + 3 + 4(1 + а)·(1 - а)

Решим уравнение относительно а

1 = 2а² + 4а + 3 + 4(1 - а²)

1 = 2а² + 4а + 3 + 4 - 4а²

2а² - 4а - 6 = 0

или

а² - 2а - 3 = 0

По теореме Виета сумма корней этого уравнения равна коэффициенту перед х с противоположным знаком, т.е. а₁ + а₂ = 2

Ответ: сумма абсцисс точек касания равна 2.