Помогите, пожалуйста, с решением. Если можно, объясните немного, пожалуйста. Заранее большое спасибо! Итак: найдите четыре числа, образующих пропорцию, если известно, что сумма крайних членов равна 14, сумма средних членов равна 11, а сумма квадратов таких четырех чисел равна 221.
Ответы
Дано:
а:b=c:d
a+d=14
b+c=11
a^2+b^2+c^2+d^2=221
Найти:
a? b? c? d?
Решение:
Выразим d и с через a и b cоответственно:
d=14-a
c=11-b
По свойству пропорции:
ad=bc
Cделаем подстановку и выполним ряд математических действий:
a(14-a)=b(11-b)
14a-a^2=11b-b^2 |*(-1)
a^2-14a=b^2-11b
a^2+b^2+(11-b)^2+(14-a)^2=221
a^2+b^2+121-22b+b^2+196-28a+a^2-221=0
2a^2+2b^2-28a-22b+96=0 |:2
a^2-14a+b^2-11b+48=0
Cделаем ещё одну подстановку и решим полученное квадратное уравнение:
b^2-11b+b^2-11b+48=0 |:2
b^2-11b+24=0
по теореме Виета:
b1=8, b2=3,
тогда соответственно тогда с1=11-8=3, с2=11-3=8
Теперь подставим полученные значения b в уравнение a^2-14a=b^2-11b и решим его:
при b=8
a^2-14a=8^2-11*8
a^2-14a+24=0
по теореме Виета:
a1=12, a2=2,
тогда соответственно тогда d1=14-12=2, d2=14-2=12
аналогично при b=3
a^2-14a=3^2-11*3
a^2-14a+24=0
по теореме Виета:
a1=12, a2=2,
тогда соответственно тогда d1=14-12=2, d2=14-2=12
Ответ: пропорция состоит из чисел 2, 3, 8, 12.
Решение:
Пропорция: а1а2=а3а4 т.е.
а1а4=а2а3
Крайние
а1+а4=14
Средние
а2+а3=11
а12+а22+а32+а42=221
а12+а42+2а1а4-2а1а4+а22+а32+2а2а3-2а2а3=221
(а1+а4)2-2а1а4+(а2+а3)2-2а2а3=221
196-2а1а4+121-2а2а3=221
НО: а1а4=а2а3
-4а1а4=-96
а1а4=24
НО а1а4=а2а3, значит а1а4=а2а3=24
а1а4=24 а1+а4=14
Это 12 и 2
а2а3=24 а2+а3=11
Это 8 и 3
Ответ:числа 12, 8, 3, 2