Question

В правильную треугольную пирамиду со стороной и боковым ребром 3 корня из 2 вписана другая треугольная пирамида так, что её вершинами являются центры граней первой пирамиды. Найдите 3V, где V-объём меньшей пирамиды.

Answer 1

Пусть А - длина ребра большой пирамиды. Тогда полупериметр основания:

р = 3А/2

Площадь основания большой пирамиды:

S = √[p(p-a)³] = √[3А/2 · (А/2)³]  = (А²√3)/4.

Высота большой пирамиды

Н = √(А² - А²/3) = А√(2/3)

Основание малой пирамиды образует плоскость, параллельную основанию большой пирамиды, т.к. вершины треугольника находятся на одном уровне от основания большой пирамиды, на высоте h, равной половине высоты Н большой пирамиды:

h =1/2 · А√(2/3) = A/√6

Рассечём большую пирамиду по плоскости основания маленькой пирамиды. Получим правильный треугольник с основанием, равным В = 0,5А. Сторона а основания малой пирамиды будет стороной правильного треугольника, вершины которого лежат на серединах сторон В. Поэтому сторона а = 0,5·0,5А = А/4

Площадь основания малой пирамиды (по аналогии с S = (А²√3)/4 )равна

s = (a²√3)/4 = A²√3)/(4·16) = A²√3)/64

Требуется найти 3v = s·h

3v =  A²√3)/64 · A/√6 = A³/(64√2)

Подставим А = 3√2

3v = (3³·2√2)/(64√2) = 27/32

Ответ: 3v = 27/32