Question

Помогите решить, пожалуйста!

 

1) Найти наклонную асимптоту у=kx+b графика функции f(x)=√4x^2+3x-5 при х стремящемуся к + ∞. В ответе укажите k+b

 

2) Напишите уравнение касательной y=kx+b  к рафику функции f(x)=-x^3-2x^2+x в точке а=2. В ответе укажите k+b

 

3)Используя формулу Маклорена для f(x)=е^x до 2-го порядка, вычислите приближенно e^-0.1

 

4)Вычислите площадь фигуры, ограниченной прямйой у=-х+14 и гиперболой у=65/(х+4)

 

5) Найдите производную функции f(x,y)= (2x+2y)/(-x-3y) в точке А(2,-1) в направлении вектора е=(-5,1)

 

6)Исследуйте функцию на локальный экстремум f(x,y)=-5x^2+y^2-4xy+26x-4y. В ответе укажите сумму координат точек экстремума

Answer 1

1)

$k=lim_{x to infty} frac{sqrt{4x^2+3x-5}}{x}=lim_{x to infty} sqrt{4+frac{3}{x}-frac{5}{x^2}}=2$

 

$b=lim_{x to infty} sqrt{4x^2+3x-5}-2x=lim_{x to infty} frac{x(3-frac{5}{x})}{x(2+sqrt{4+frac{3}{x}+frac{5}{x^2}})}=frac{3}{4}$

 

Ответ: b+k=2+3/4=11/4

 

2) y=f(a)+f'(a)(x-a)

f(x)=-x³-2x²+x  f(2)=-14

f'(x)=-3x²-4x+1

f'(2)=-19

y=-19x+24

Ответ: k+b=-19+24=5

 

3) f(x)=e^x

$e^{-0,1}=1+(-0,1)+0,005=0,905$

 

4) Найдем точки пересечения графиков

65/(x+4)=14-x

-x²+10x-9=0

x₁=1 x₂=9

$S=intlimits^9_1 {14-x-frac{65}{x+4}} , dx=14x-frac{x^2}{2}-65ln(x+4)|_1^9=72-65lnfrac{13}{5}$

 

5) $frac{df}{dx}=-frac{4y}{(x+3y)^2}, frac{df}{dy}=frac{4x}{(x+3y)^2}$

$f'_x(A)=4, f'_y(A)=-4$

 

Направляющий вектор {-5/√26, 1/√26}

Ответ: 4(-5/√26)-4/√26 = -24/√26