Question

log5 (3x-11)+log5 (x-27)=3+log5 8 Решите плиз срочно нада.

Answer 1

ОДЗ нашего уравнение:   $x</var>>27$</p> <p> </p> <p>Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество:</p> <p> <img src=[/tex]log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" title="x>27" title="log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" title="x>27" alt="log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})" title="x>27" />

 

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество:

 $x</var>>27$

 

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество:

 $<var>log_{a}N_{1} log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})$-----(1)

В нашем случае $a=5$, $N_{1}=</var>3x-11$-----(1)

В нашем случае $a=5$, $<var>log_{a}N_{1}+log_{a}N_{2}=log_{a}(N_{1}*N_{2})$-----(1)

В нашем случае $a=5$, $N_{1}=</var>3x-11$, $<var>N_{2}=</var>x-27$

Поэтому $<var>log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[<var>(3x-11)</var><var>(x-27)</var>]$, $<var>N_{2}=</var>x-27$

Поэтому $N_{1}=</var>3x-11$, $<var>N_{2}=</var>x-27$

Поэтому $<var>log_{5}(3x-11) log_{5}(x-27)=log_{5}[<var>(3x-11)</var><var>(x-27)</var>]$------(2)

 

Правую часть нашего уравнения также преобразуем с помощью тождества (1), предварительно представив слагаемое 3 в виде $log_{5}5^{3}=log_{5}125" title="<var>log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[<var>(3x-11)</var><var>(x-27)</var>]" />------(2)</var></p> <p> </p> <p>Правую часть нашего уравнения также преобразуем с помощью тождества (1), предварительно представив слагаемое 3 в виде [tex]log_{5}5^{3}=log_{5}125" alt="<var>log_{5}(3x-11)+log_{5}(x-27)=log_{5}[<var>(3x-11)</var><var>(x-27)</var>]" />------(2)</var></p> <p> </p> <p>Правую часть нашего уравнения также преобразуем с помощью тождества (1), предварительно представив слагаемое 3 в виде [tex]log_{5}5^{3}=log_{5}125" />:</p> <p>  [tex]log_{5}125+log_{5}8=log_{5}(125*8)$------(3)

C учетом (2) и (3) исходное уравнение примет вид:

  $log_{5}[<var>(3x-11)</var><var>(x-27)</var><var>=log_{5}(125*8)</var>$-----(4)

 Отсюда по свойству логарифма получим алгебраическое уравнение:

    $<var>(3x-11)</var><var>(x-27)</var><var>=125*8</var></var>=1000$, или раскрывая скобки, получим</p> <p>    <img src=[/tex]3x^{2}-81x-11x+297=1000" title="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" title="3x^{2}-81x-11x+297=1000" title="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" alt="3x^{2}-81x-11x+297=1000" title="(3x-11)(x-27)=125*8=1000" />, или раскрывая скобки, получим

    $<var>(3x-11)</var><var>(x-27)</var><var>=125*8</var></var>=1000$, или раскрывая скобки, получим

    $<var>3x^{2}-81x-11x+297=1000" />, или приведя подобные получим квадратное уравнение относительно [tex]<var>x</var>$:

 

        $3x^{2}-92x-703=0$

Найдем его дискриминант: $D=(92)^2-4*3*(-703)=4(23*23*4+3*703)=4*(2116+2109)=4*4225=4*(4200+25)=4*25(42*4+1)=100*169=(130)^2$ 

Поскольку дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня:

  $x_{1}=frac{92+130}{6}=frac{222}{6}=37$  удовлетворяет ОДЗ

  $x_{2}=frac{92-130}{6}=-frac{38}{6}=<var>-frac{19}{3}</var>$ не удовлетворяет ОДЗ.

Таким образом, только один корень квадратного уравнения является корнем исходного уравнения:  $x=x_{1}=37$