Question

В откачанном пространстве вертикально стоит цилиндрический сосуд, перекрытый сверху подвижным поршнем массыМ.          Под поршнем  находится одноатомный газ при температуре Ти давлении Р.  Внутреннее сечение цилиндра S, высота той части сосуда, в которой находится газ, Н. Поршень отпустили, он начал двигаться. Чему равна максимальная скорость, развиваемая поршнем, если газ сжимается адиабатически?

Answer 1

При достижении поршнем максимальной скорости

$Mg=P_{1}S$

$P_{1}$ - давление газа в момент достижения максимальной скорости

 

Для нахождения максимальной скорости распишем изменение кинетической энергии

(ее изменение - это работа всех сил, действующих на поршень)

$frac{1}{2}Mv^2=Mg(H-H_{1})+A$

 

$H_{1}$ - высота поршня при достижении максимальной скорости

A - это работа газа при уменьшении объема.

 

Высота поршня и объем газа пропорциональны:

$frac{H}{H_{1}}=frac{V}{V_{1}}$

V₁ - объем в момент достижения макс. скорости

Тогда

$frac{1}{2}Mv^2=MgH(1-frac{V_1}{V})+A$

Учитывая, что газ сжимается адиабатически, применяем уравнение Пуассона

$PV^k=P_1V_1^k$

k=5/3 - для одноатомного газа

 

$frac{V_1}{V}=(frac{P}{P_1})^{frac{1}{k}}=(frac{PS}{Mg})^frac{1}{k}$

 

Работа газа при адиабатическом сжатии

 

$A = frac{PV}{k-1}(1-(frac{V}{V_1})^{k-1})=frac{3}{2}MgH(frac{PS}{Mg})^frac{3}{5}(1-(frac{Mg}{PS})^frac{2}{5})$

 

Полученное подставляем в уравнение для скорости и находим ее

 

$v=sqrt{2gH(1-frac{5}{2}(frac{PS}{Mg})^frac{3}{5}+frac{3}{2}frac{PS}{Mg})}$