Question

Помогите, пожалуйста,  решить!

 

Для линейного оператора f известно, что f  5     11    и f 4     =  -16

                                                                           4  = 25        -3         -11  . Найдите матрицу этого оператора. В ответе укажите сумму элементов матрицы

 

2    . Известно,  что в некотором ортонормированном базисе f

х1     х1+7х2+8х3

х2 =-5х1-х2+8х3

х3   -2х1-4х2+х3  .    Найдите матрицу оператора  f* сопряженного для f. В ответе укажите сумму 3-й строки.

 

3. Найдите собственные значения и собственные векторы линейного оператора f, если известна его матрица в стандартном базисе F= 12 24
                                                                                                         -6  38. Первые координаты собственных векторов приравняйте к 1. В ответе укажите сумму их вторых координат.

 

 4. Методом Лангранжа приведите квадратичную форму

q=x12  +4x1x2+4x1x3+29x2^2+38x2x3+17x3^2к нормальному виду. В ответе укажите сумму коэффициентов нормального вида.

Answer 1

1) Матрица линейного оператора выглядит следующим образом

α₁₁ α₁₂

α₂₁ α₂₂

Составим соответствующие уравнения после действия этого оператора

5α₁₁+4α₁₂=11

5α₂₁+4α₂₂=25

4α₁₁-3α₁₂=-16

4α₂₁-3α₂₂=-11

Решая систему находим элемениы матрицы

α₁₁=-1 α₁₂=4

α₂₁= 1 α₂₂=5

Ответ: 9

2) Составим матрицу оператора

 1  7 8 

-5 -1 8

-2 -4 1

Транспонируем ее

1 -5 -2

7 -1 -4

8  8  1

Ответ: 17

3) Решим соответствующее характеристическое уравнение

$left[begin{array}{cc}12-lambda&24\-6&38-lambdaend{array}right]=lambda^2-50lambda+600=0$

Для всех собственных значений найдем собственные вектора

$lambda_1=20$

-x₁+3x₂=0

x₁=1 x₂=1/3

$lambda_2=30$

-3x₁+4x₂=0

x₁=1 x₂=3/4

Ответ: 13/12

4) x₁²+4x₁x₂+4x₁x₃+29x₂²+38x₂x₃+17x₃²=(x₁+2x₂+2x₃)²+(5x₂+3x₃)²+4x₃²=a₁²+a₂²+4a³₂

Ответ: 6