Question

Найти общее решение дифференциального уравнения  $y''+py'+qy=f(x)$ и  частное решение, удовлетворяющее начальным условиям $y=y_{0}, y'=y'_{0}$ при x=0.

  $y''-4y'+3y=3e^{2x}; y_{0}=2, y'_{0}=-1$

Answer 1

Сначала решим общее однородное уравнение:

y''-4y'+3y=0

Для этого составим характеристическое уравнение:

$lambda^2-4lambda+3=0$ 

Находим корни, получаем: 

$lambda_1=1, lambda_2=3$ 

 Тогда общее решение однородного уравнения запишется как:

 $y(x)=C_1e^{lambda_{1}x}+C_2e^{lambda_{2}x}=C_1e^{x}+C_2e^{3x}$

 

Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения.

Попробуем подобрать его, вообще тут видно, что частное решение этого уравнения будет $y(x)=-3e^{2x}$ 

 

Если такой вариант нахождения частного решения не подходит, то можно решать все долго и по формулам: 

для этого воспользуемся методом вариации постоянной, дл это представим C1 и С2 как функции от х  и решим все по формуле:

$left { {{C'_{1}(x)e^x+C'_{2}(x)e^3x=0} atop {C'_{1}(x)e^x+3C'_{2}(x)e^3x=3e^{2x}}} right.$ 

Разделим первое и второе уравнениея на $e^x$ , выразим из 1го уравнения $C'_{1}(x)$ получим  $C'_1(x)=-C'_2(x)e^{2x}$

Теперь подставим это во второе уравнение и получим, после всех сокращений:

 

$C'_2(x)=frac{1}{2}, C_2(x)=frac{x}{2}$  Теперь найдем C1(x)

 

$C'_1(x)=-frac{1}{2}e^{2x}, C_1(x)=-frac{1}{4}e^{2x}$ 

Подставляем найденные C1 и C2 и получаем:

 Частное решение в виде:

 

$frac{x}{2}e^x-frac{e^{2x}}{4}e^{3x}$ 

 Теперь найдем общее решение:

Y(x)=общее решение однородного уравнения+частное решение неоднородного уравнения 

 

 Я думаю что стоить взять частное решение которое было получено подбором, потому что оно проще, да и я мог где нибудь ошибиться в расчетах, поэтому:

$Y(x)=C_1e^x+C_2e^{3x}-3e^{2x}$ (1)

 Теперь решаем задачу Коши:

Она заключается в нахождении C1 и C2

Все просто, подставим в решение (1) вместо x число 0, а вместо y число 2 (это соответсвует y(0)=2)

$2=C_1+C_2-3, C_1+C_2=5, C_1=5-C_2$

Теперь возьмем производную и подставим в нее вместо x ноль, а вместо y -1

 $Y'(x)=e^x(C_1+3e^x(C_2e^x-2))$

 $-1=(C_1+3(C_2-2))=C_1+3C2-6=-1, C1+3C2=5$

Получили систему уравнение:

 $left { {{C_1=5-C_2} atop { <var>C1+3C2=5</var>}} right$

Отсюда C2=0, C1=5.

Теперь запишем ответ:

ОТВЕТ:   $Y(x)=5e^x-3e^{2x}$