Question

Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл.

 

$intlimits^4_1 {frac{e^{sqrt{x}}}{sqrt{x}}} , dx$

 

Answer 1

Ну для начала возьмем все таки этот интеграл (сначал можно как неопределенный)

$int{frac{e^sqrt(x)}{sqrt(x)}}, dx=$ {сделаем замену $u=sqrt{x}, du=frac{1}{2sqrt{x}}dx$ } продолжаем вычисление $=2int{e^u}, du=2e^u+C$

Теперь вернемся к исходным переменным: $2e^u=2e^{sqrt{x}}$

Интеграл взяли, теперь вспоминаем формулу Ньютона-Лейбница: $intlimits^a_b {f(x)} , dx=F(b)-F(a)$ , где F(x)-какая-либо первообразная от функции f(x). Выше мы нашли первообразную от f(x) и она оказалась равна F$F(x)=2e^{sqrt{x}}$, константу здесь сделали 0.

Ну и теперь получаем

 $intlimits^4_1{frac{e^sqrt(x)}{sqrt(x)}}, dx=2(e^2-e)$

Ответ:    $intlimits^4_1{frac{e^sqrt(x)}{sqrt(x)}}, dx=2(e^2-e)$

 

Примечание: почему я сначала брал неопределенный интеграл?

Потому что при любой замене в определенном интеграле необходимо пересчитывать пределы интегрирования.

Но поскольку мы пользуемся формулой Ньютона-Лебница в которой нам нужно найти именно первообразную, то можно воспользоваться и неопеределенным интегралом, чтобы ничего не пересчитывать.