Question

в правильной четырехугольной призме abcda1d1c1d1 стороны основания равны 3, а боковые ребра 4. На ребре аа1 отмечена точка е так, что ae:ea1=1:3.Найдите угол между плоскостями abc и bed1

Answer 1

Я тут уже решал такую задачу раз 5 с разными числовыми данными. Скорее всего это какая-то задача из вариантов ЕГЭ.

1. Надо построить линию пересечения плоскостей. В плоскости бокового ребра AA1DD1 проводим D1E и прололжаем за точку Е до пересечения с продолжением DA. Пусть это точка К. Треугольник А1ЕD1 имеет стороны A1D1 = 3; A1E = 3; то есть это равнобедренный треугольник. Треугольник АКЕ подобен ему, поэтому АК = АЕ = 1.

Ясно, что точка К принадлежит обеим плоскостям (abc и bed1), как и точка В. Поэтому КВ - линия пересечения abc и bed1.

2. Чтобы найти угол между abc и bed1, для начала сменим [в голове:)] обозначения. Плоскость АВС это плоскость АВК. Плоскость BED1 это плоскость ЕВК. Ищем угол между АВК и ЕВК. Известно, что

АЕ = 1; АВ = 3; AK = 1; 

Пусть АН - высота в треугольнике АВК к стороне ВК. 

Вычислим ВК = корень(3^2 + 1^2) = корень(10);

AH = AK*AB/BK = 3/корень(10);

Легко увидеть, если провести плоскость перпендикулярно ВК через АЕ, что искомый угол (обозначим его Ф) считается так

tg(Ф) = AE/AH = корень(10)/3;