Question

четыре точки разбивают окружность на дуги, длины которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3. найдите меньший угол между диагоналями четырехугольника, полученного путем последовательного соединения этих точек.

Answer 1

Ориентир по рисунку . 
Полученный четырехугольник будет вписанным в окружность.
Так как дуги по формуле равны $L=frac{pi*r*n}{180}$ , где $n$ -  центральный угол     . 
 Пусть угол  $AOD=n$ , дуга $wedge AD=x$ . 
 $x=frac{pi*r*n}{180}\ 3x=frac{pi*r*n_{1}}{180}\ 9x=frac{pi*r*n_{2}}{180}\ 27x=frac{pi*r*n_{3}}{180}\\ n+n_{1}+n_{2}+n_{3}=360\\ n_{1}=3n\ n_{2}=9n\ n_{3}=27n \ n=9а\ n_{1}=27а\ n_{2}=81а\ n_{3}=243а$,
 Заметим что  углы $BDC BOC$ итд опираются на одну и ту же дугу. 
 По теореме  о вписанном угле  , вписанный     угол   $BDC=frac{BOC}{2}$ 
выражая все углы 
получим 
 $BDC=40.5а\ ADB=13.5а\ CBD=121.5а\ ABD=4.5а$
$ACB=13.5$ 
 тогда угол между диагоналями 
 $180-121.5-13.5=45$ он самый наименьший