Question

Четырехугольник ABCD вписан в окружность, точка О - точка пересечения диагоналей AC и BD. Известно, что S abo=4S bco, ВО=1, DO=16. Найти АС.

Answer 1

Обозначим угол $BOC=a$. Тогда угол  $BOA=180-a$ . 
Площадь треугольника $S_{AOB}=frac{AO*1*cosa}{2}\ S_{BOC}=frac{OC*1*sina}{2}\\ S_{AOB}=4S_{BOC}\ S_{ABC}=frac{5OC*sina}{2}\\ S_{OCD}=8OCcosa\ S_{AOD}=8AOsina\ S_{CDA}=8OCcosa+8AOsina\\ S_{ABCD}=S_{ABC}+S_{CDA}=2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina$
но  с другой стороны площадь четырехугольника равна 
$S_{ABCD}=(AO+OC)*8.5*sina$ 
Тогда  $2.5OC*sina+8OCcosa+8AOsina=(AO+OC)*8.5*sina$ 
По свойству хорд  получаем 
$AO*OC=16*1$
выражая и подставляя в уравнение 
$2.5*frac{16}{AO}*sina+8*frac{16}{AO}*cosa+8*AO*sina=$$(AO+frac{16}{AO})*8.5*sina$ 
откуда получаем что 
 $(AO^2+192)sina=256cosa\ AO^2=256ctga-192$
 но  по  условию $S_{ABO}=4S_{BCO}\ AO*OC=16\\ S_{ABO}=frac{AO*cosa}{2}\ S_{BOC}=frac{OC*sina}{2}\ frac{AO*cosa}{OC*sina}=4\ AO*cosa=4OC*sina\ frac{AO}{OC}=4tga\ frac{AO}{frac{16}{AO}}=4tga\ AO=8sqrt{tga}$
  Уравнение 
 $256ctga-192=8sqrt{tga}$
  Откуда решение 
 $x=frac{pi}{4}$   второй не подходит 
 Откуда $AO=8 OC=2\\ AC=8+2=10$