Question

Имеется 8 карточек. На них записываются по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 5, -6, 7, -8, 9. Карточки переворачивают и перемешивают. На их чистых сторонах заново пишут по одному каждое из чисел 1, -2, -3, 5, -6, 7, -8, 9. После этого числа на каждой карточке складываются, а полученные восемь сумм перемножаются.
а) Может ли в результате получиться 0?
б) Может ли в результате получиться 1?
в) Какое наименьшее целое неотрицательное число может в результате получиться?

Answer 1

a) Произведение равно 0 если хотя бы один из множителей равен 0. Каждый из восьми множителей есть сумма двух чисел. Сумма же равна нулю лишь в том случае, когда складываются противоположные числа
х+(-х)=0
Но в нашей последовательности нет ни одной пары взаимопротивоположных чисел. Значит, 0 в результате не может быть никогда.

б) Поскольку наши числа целые, то их сумма будет также целым числом. А произведение целых чисел будет равно 1 лишь в том случае, когда они все по модулю равны 1. А это условие не выполняется. Например, если на одной стороне написано -3, то, какое бы число не было написано на противоположной стороне, модуль суммы будет отличаться от 1. Следовательно, 1 в результате получиться не может

в) произведение будет минимальным, когда величина множителей минимальна. Попробуем составить минимальное произведение. Начнем с большего числа. Если на одной стороне 9, то на другой -8, для -8 на другой стороне  или 9, или 7. Но если возьмем 7, то 9 будет в паре с таким числом, которое даст сумму больше 1. Поэтому выбираем 9. Ну и дальше по аналогии:
1 сторона:  9 -8  7 -6  5 -3 -2  1
2 сторона: -8  9 -6  7 -3  5  1 -2
сумма        1  1  1  1  2  2 -1 -1
Произведение будет равно 4. Это произведение будет минимальным.