Question

периметр равнобедренного треугольника равен 18 см. Каким должны быть его стороны чтобы площадь треугольника была наибольшей?

Answer 1

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника - х см, тогда основание треугольника  будет  18-2х или 2(9-х) см.

Составим выражение для высоты треугольника, проведенной к основанию

$h=sqrt{x^2=(frac{18-2x}{2})^2}=sqrt{18x-81}=3sqrt{2x-9}$

Теперь составим выражение площади треугольника

$S=frac{1}{2}cdot 3sqrt{2x-9}cdot 2(9-x)=3sqrt{2x-9}cdot (9-x)$

Найдем производную полученного выражения

$S'=frac{3cdot 2cdot(9-x)}{2sqrt{2x-9}}-3sqrt{2x-9}=3cdot frac{9-x-2x+9}{sqrt{2x-9}}=\ =9(frac{6-x}{sqrt{2x-9}}) \\ S'=0\ 9(frac{6-x}{sqrt{2x-9}})=0\ 2x-9neq0\ xneq4,5\ 6-x=0\ x=6$

при x<6 значение производной S'>0, а при x>6 S'<0, значит при х=6 функция S принимает максимальное значение (максимум функции)

$S_{max}=3sqrt{2cdot 6-9}cdot (9-6)=9sqrt{3}$

Таким  образом, плащадь треугольника будет наибольшей, если все его стороны будут равны 6 см, т.е. он будет равносторонним.