Question

В четырехугольнике ABCD известно, что АВ =2 $sqrt{35}$, AD=5 и что стороны ВС, CD, AD касаются некоторой окружности, центр которой находится в середине AB, найдите длину ВС

Answer 1

Обозначим угол BAD = угол ADC =  Ф; (я не стану растекаться на "доказательства" очевидных вещей, вроде равества этих углов, однако для себя вы должны понимать, как это делать). Пусть К - точка касания стороны АВ, P - BC, Q - CD, O - центр. Проводим ВМ и СL перпендикулярно AD (М и L лежат на AD), и BN II AD, N лежит на CL.

Пусть ОА = OD = a; AB = b; CD = c;

ML = BN = 2*a - (b + c)*cos(Ф);

CN = (c - b)*sin(Ф);

Из треугольника АКО АК = a*cos(Ф); само собой это равно QD;

BP = BK; CP = CQ; отсюда

ВС = (c + b) - 2*a*cos(Ф);

Теорема Пифагора для треугольника BCN

(2*a - (b + c)*cos(Ф))^2 + ((c - b)*sin(Ф))^2 = ((c + b) - 2*a*cos(Ф))^2;

4*a^2 - 2*a*(b + c)*cos(Ф) + ((c + b)*cos(Ф))^2 + ((c - b)*sin(Ф))^2 = 

= (b + c)^2 - 2*a*(b + c)*cos(Ф) + 4*a^2*(sin(Ф))^2;

4*a^2*(sin(Ф))^2 - (c + b)^2*(sin(Ф))^2 + (c - b)^2(sin(Ф))^2 = 0;

4*a^2* - (c + b)^2 + (c - b)^2 = 0;

a^2 = cb;

Поэтому 35 = с*5; с = 7;