Question

Найти площадь области D. Рисунок вроде составил, а вот с продолжением проблеммы, заранее спасибо.

Answer 1

Первая окружность: $x^2+(y-1)^2=1$ с центром в $(0;1)$ и радиусом $1$
Вторая окружность: $x^2+(y-2)^2=4$ с центром в $(0;2)$ и радиусом $2$

Чуть повнимательнее. У меня такие же проблемы были, но потом рука привыкла.

А потом проинтегрировать в полярных координатах: полюс в начале координат, полярная ось направлена в положительную сторону оси X. Большую окружность представим в виде $r=4sintheta$, а маленькую - $r=2sintheta$. Две прямые соответствуют уравнениям$alpha=30^o$ и $beta=60^o$. Площадь, заключенная между двумя прямыми (задаваемыми углами $theta$) и полярной функцией, заданной уравнением $r=f(theta)$, вычисляется следующим образом: 

$S=frac{1}{2} intlimits^beta_alpha {r^2} , dtheta$

Дальше все ясно: найдем кусок площади большого круга и вычтем из него кусок площади маленького.

$S_1=frac{1}{2} intlimits^{pi /3}_{pi/6} {(2sintheta)^2} , dtheta=2intlimits^{pi /3}_{pi/6} {sin^2theta} , dtheta=2(frac{theta}{2}-frac{1}{4}sin(2theta)|^{pi/3}_{pi/6})= \ =(theta-frac{1}{2}sin(2theta))|^{pi/3}_{pi/6}=(frac{pi}{3}-frac{sqrt{3}}{4})-(frac{pi}{6}-frac{sqrt{3}}{4})=frac{pi}{6}$

Площадь большого куска находится аналогично, она будет отличаться от найденной в 4 раза (там выносится 16 из под интеграла после возведения функции в квадрат). $S_2=frac{2pi}{3}$.

Итак, $S=S_2-S_1=frac{pi}{2}$

Answer 2

огромное спасибо, болел, пропустил эту тему, а через 30 минут контрольная, огромное спасибо)

Answer 3

не понимаю данную замену на r*sin, но думаю разберусь, ере раз спасибо)

Answer 4

теперь все понял, решил совершенно другой вариант, схема ясна, огромнейшее спасибо