Question

в эллипсе $frac{x^2}{a^2}+ frac{y^2}{b^2}=1$ вписать прямоугольник со сторонами,параллельными осям эллипса,площадь которого наибольшая.

помогите пожалуйста

Answer 1

$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$ ,  пусть $(x';y')$   координаты вершины $A$ , прямоугольника $ABCD$.
  Если прямоугольник вписан в эллипс , то выполняется  условие 
 $frac{x'^2}{a^2}+frac{y'^2}{b^2}=1\ x'^2b^2+a^2y'^2=a^2b^2\ y'^2=frac{a^2b^2-x'^2b^2}{a^2}$
  Тогда площадь прямоугольника равна $S=2x'*2y'=4x'y'$  это не производные     . 
 $x'=x\ y'=y\\ S=4xy\ y^2=frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}\\ S=4*sqrt{frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x$
 Теперь рассмотрим данную функцию очевидно что $a>b>y>x>0$  .
   Найдем производную 
       $S'=4*sqrt{frac{a^2b^2-x^2b^2}{a^2}}*x \ S'=frac{ (8x^2-4a^2) * sqrt{a^2b^2-b^2x^2} }{ax^2-a^3}\ S'=0\ 8x^2=4a^2\ x= frac{a}{sqrt{2}}\ a^2b^2 geq b^2x^2\ a^2 geq x^2 \ a neq x$
 То есть  одна сторона прямоугольника равна $2*frac{a}{sqrt{2}}=sqrt{2}*a$ 
 тогда другая $sqrt{2}b$ .
 То есть самая наибольшая площадь которую можно вписать в данный эллипс равен 
 $S=2ab$