построить график функции f(x)=(x-1)^3 и указать ее основные свойства
Ответы
Ответ:
Для построения графика функции f(x) = (x-1)^3, нам необходимо применить несколько шагов.
1. Исследуем область определения функции. В данном случае, функция f(x) определена для любого значения x.
2. Найдем точки пересечения с осями координат. Для этого приравняем f(x) к 0 и решим уравнение:
(x-1)^3 = 0
Решением этого уравнения является x = 1. Таким образом, у функции есть единственная точка пересечения с осью x, а именно (1, 0).
3. Исследуем поведение функции в окрестности точки пересечения. Для этого найдем производную функции f(x):
f'(x) = 3(x-1)^2
Равенство производной нулю дает нам единственную критическую точку при x = 1. При этом, производная меняет знак на промежутках (-∞,1) и (1,+∞), что говорит о том, что график функции будет возрастать на промежутке (-∞,1) и убывать на промежутке (1,+∞).
4. Определим поведение функции на бесконечности. При x -> -∞, (x-1)^3 будет стремиться к -∞. При x -> +∞, (x-1)^3 будет стремиться к +∞.
5. Для построения графика выберем несколько значений x и найдем соответствующие значения y = f(x). Например:
При x = -2, y = (-2-1)^3 = -27
При x = 0, y = (0-1)^3 = -1
При x = 1, y = (1-1)^3 = 0
При x = 2, y = (2-1)^3 = 1
При x = 3, y = (3-1)^3 = 8
6. Нанесем найденные точки на координатную плоскость и прочертим график, проходящий через них. При этом учтем, что функция будет возрастать на интервале (-∞,1) и убывать на интервале (1,+∞). Таким образом, график будет иметь форму параболы с ветвями, направленными вверх.
В результате, график функции f(x) = (x-1)^3 будет иметь вид параболы с вершиной в точке (1, 0) и ветвями, направленными вверх. Он будет возрастать на интервале (-∞,1) и убывать на интервале (1,+∞).