Question

У рівнобічній трапесії ABCD (AD найбільша основа) з вершин А і D проведено перпендикуляри AM і DN до сторін CD і AB. Довести, що AM = DN

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Позначимо AM = x та DN = y. Тоді ми хочемо довести, що x = y.

Оскільки AM та DN — перпендикуляри до сторін CD та AB відповідно, можна використовувати подібні трикутники.

Розглянемо трикутники AMD та DNB.

∠AMD = ∠DNB (перпендикуляри до однієї і тієї ж сторони рівнобічної трапеції ABCD).

∠MAD = ∠NDB (перпендикуляри до основ трапеції).

Отже, трикутники AMD та DNB подібні за кутовою стороною (AA).

Це означає, що співвідношення довжин сторін цих трикутників дорівнює співвідношенню довжин відповідних сторін:

{AM}{DN} = {AD}{DB}.

Оскільки AD найбільша основа трапеції, то AD = BC.

Таким чином, ми отримуємо:

{AM}{DN} = {AD}{DB} = BC}{DB}.

Тепер звернемо увагу на рівнобічну трапецію ABCD. У такій трапеції основи AD і BC рівні, тобто AD = BC. Таким чином, ми можемо замінити AD на BC у нашому виразі:

{AM}{DN} = {BC}{DB} = {AD}{DB} = 1.

Отже, ми отримали, що AM = DN. Це й доводить те, що шукали.