8. Для функції y= - x ^ 2 + 4x -3 знайдіть:a) область значень; б) про міжки зростання; в) нyлі функції; г) проміжки, в яких y>0 срочно даю 100 балов
Ответы
Ответ:
Запишемо функцію \(y = -x^2 + 4x - 3\):
a) **Область значень (Range):**
Щоб знайти область значень, варто врахувати, що це парабола з від'ємним коефіцієнтом перед \(x^2\), тому найбільше значення, яке функція може досягнути, буде в момент вершини параболи. Використаємо формулу для знаходження вершини параболи: \(x = \frac{-b}{2a}\), де \(a = -1\) та \(b = 4\).
\(x = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = 2\).
Підставимо \(x = 2\) у функцію, щоб знайти відповідне значення \(y\):
\(y = -(2)^2 + 4 \cdot 2 - 3 = -4 + 8 - 3 = 1\).
Таким чином, область значень функції \(y = -x^2 + 4x - 3\) - це всі дійсні числа, менші або рівні 1.
b) **Проміжки зростання (Intervals of Increase):**
Функція є параболою з від'ємним коефіцієнтом перед \(x^2\), тому вона зростає до значення вершини параболи (2, 1) та спадає після цього. Таким чином, проміжок зростання - це від \(-\infty\) до 2.
c) **Нулі функції (Zeros/Roots):**
Щоб знайти нулі функції, потрібно знайти значення \(x\), при якому \(y = 0\).
Підставимо \(y = 0\) у функцію:
\(0 = -x^2 + 4x - 3\).
Розв'яжемо це квадратне рівняння:
\(-x^2 + 4x - 3 = 0\).
\(\text{Використовуючи квадратне рівняння:}\)
\((x - 1)(x - 3) = 0\).
\(x = 1\) або \(x = 3\).
Отже, нулі функції: \(x = 1\) та \(x = 3\).
d) **Проміжки, в яких \(y > 0\):**
Ми знаємо, що вершина параболи знаходиться в точці (2, 1), і парабола спускається назад, тобто \(y > 0\) для значень \(x\), що лежать між нулями функції (тобто між 1 та 3). Отже, проміжок, в якому \(y > 0\) - це від \(x = 1\) до \(x = 3\).