Question

Довести, що значення виразу 11ⁿ⁺¹ - 2ⁿ⁺¹+ 11ⁿ - 2ⁿ ділиться на 6 за будь-якого натурального значення n.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

$11^{n+1}-2^{n+1}+11^n-2^n=11^n*11-2^n*2+11^n-2^n=11^n(11+1)-2^n(2+1)=11^n*12-2^n*3$

Очевидно, что $11^n*12$ делится на 6, поскольку 12 делится на 6 без остатка.

Рассмотрим делимость числа $2^n*3$ на 6.

• Если число одновременно делится без остатка на 2 и на 3, то оно без остатка делится на 6.

$2^n*3$ делится на 3, поскольку 3 делится на 3 без остатка.

Так же $2^n*3$ делится на 2, поскольку n - натуральная степень, а 2 в любой натуральной степени можно без остатка разделить на 2.

Значит $2^n*3$ без остатка делится на 6.

Поскольку каждый член разности делится на 6 без остатка, то все выражение делится на 6 без остатка.

ДОКАЗАНО!!!

Answer 2

Объяснение:

$\displaystyle\\11^{n+1}-2^{n+1}-11^n-2^n=11*11^n-2*2^n+11^n-2^n=12*11^n-3*2^n=\\\\=12*11^n-6*\frac{2^n}{2} =12*11^n-6*2^{n-1}=6*(2*11^n-2^{n-1}).$