Question

Возможно, не там спрашиваю, но надеюсь помогут. Определитель матрицы находить нельзя.

Answer 1

Ответ:

Доказано требуемое.

Объяснение:

                $\begin{vmatrix}1&a&bc\\1&b&ca\\1&c&ab\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&a&bc\\0&b-a&ca-bc\\0&c-a&ab-bc\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&a&bc\\0&b-a&-c(b-a)\\0&c-a&-b(c-a)\end{vmatrix}=$

                $=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&a&bc\\0&1&-c\\0&1&-b\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&a&bc\\0&1&-c\\0&0&c-b\end{vmatrix}=$

 $=(b-a)(c-a)(c-b)\begin{vmatrix}1&a&bc\\0&1&-c\\0&0&1\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}.$

          $\begin{vmatrix}1&a&a^2\\1&b&b^2\\1&c&c^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&a&a^2\\0&b-a&b^2-a^2\\0&c-a&c^2-a^2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}1&a&a^2\\0&b-a&(b-a)(b+a)\\0&c-a&(c-a)(c+a)\end{vmatrix}=$

            $=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&a&a^2\\0&1&b+a\\0&1&c+a\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)\begin{vmatrix}1&a&a^2\\0&1&b+a\\0&0&c-b\end{vmatrix}=$

 $=(b-a)(c-a)(c-b)\begin{vmatrix}1&a&a^2\\0&1&b+a\\0&0&1\end{vmatrix}=(b-a)(c-a)(c-b)\begin{vmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{vmatrix}.$

Итак, мы доказали, что определители равны. Определитель единичной матрицы вычислять не стали, поскольку в условии задачи это категорически запрещено)).

Произведенные операции с первым определителем:

1) Из второй строчки вычли первую строчку; из третьей строчки вычли первую. Как известно, определитель при этом не меняется.

2) Из второй строчки вынесли общий множитель (b-a), из третьей строчки вынесли общий множитель (c-a).

3) Из третьей строчки вычли вторую строчку.

4) Из третьей строчки вынесли общий множитель (c-b).

На этом можно было бы остановиться, так как в результате получилась верхнетреугольная матрица, определитель которой равен произведению чисел на главной диагонали, но нам нельзя определитель находить. Поэтому продолжаем:

5) Из второго столбца вычли первый столбец, умноженный на a. Из третьего столбца вычли первый столбец, умноженный на bc. К третьему столбцу добавили второй столбец, умноженный на c.

Со вторым определителем проделали аналогичные операции (минимальные отличия только в пятом пункте - там столбцы приходится умножать на другие числа).