ПОМОГИТЕ ПОЖАЛЙСТА!!
Варіант 1
Контрольна робота Nº 1
Тема. Розвʼязування трикутників
1: Дві сторони трикутника дорівнюють 4 см і 8 см, а кут між ними —
60°. Знайдіть третю сторону трикутника та його площу.
2. Два кути трикутника дорівнюють 30° і 135°, а сторона, що лежить проти меншого з них, дорівнює 4 см. Знайдіть сторону трикут-ника, яка лежить проти більшого з даних кутів.
3. Знайдіть невідомі сторони та кути трикутника АВС, якщо
AB=6 см, AC = 10 см, LA=110°.
4. Знайдіть радіус кола, вписаного в трикутник зі сторонами 10 см, 17 см і 21 см.
5. Сторони трикутника дорівнюють 7 см, 11 см і 12 см. Знайдіть медіану трикутника, проведену до його більшої сторони.
Ответы
Ответ:
1. Для знаходження третьої сторони трикутника використовуємо теорему косинусів:
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab * cos(C),
де c - третя сторона трикутника, a і b - дані сторони трикутника, C - кут між ними (в радіанах).
У нашому випадку a = 4 см, b = 8 см і C = 60°. Переведемо кут C у радіани:
C = 60° * (π/180°) = π/3 радіан.
Підставивши в формулу, отримуємо:
c^2 = 4^2 + 8^2 - 2 * 4 * 8 * cos(π/3).
Обчислюємо:
c^2 = 16 + 64 - 64 * cos(π/3)
c^2 = 80 - 64 * (1/2)
c^2 = 80 - 32
c^2 = 48
c = √48
c = 4√3 см.
Таким чином, третя сторона трикутника дорівнює 4√3 см.
2. Оскільки сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°, то третій кут можна знайти, віднявши суму двох відомих кутів від 180°:
LС = 180° - 30° - 135°
LС = 180° - 165°
LС = 15°.
За теоремою синусів маємо:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C),
де a, b, c - сторони трикутника, A, B, C - кути напроти відповідних сторін.
У нашому випадку B = 30°, C = 135°, b = 4 см. Знаходимо a:
a / sin(A) = 4 / sin(30°)
a = 4 * sin(A) / sin(30°).
Так як сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°, то A = 180° - B - C = 180° - 30° - 135° = 15°.
Підставимо дані і обчислимо:
a = 4 * sin(15°) / sin(30°).
Таким чином, сторона трикутника, що лежить проти більшого з даних кутів, дорівнює 4 * sin(15°) / sin(30°).
3. Сума всіх кутів трикутника дорівнює 180°, тому третій кут можна знайти, віднявши суму двох відомих кутів від 180°:
LC = 180° - 110° - КУТ_A.
Знаходимо значення кута А:
А = 180° - 110° - ЛС
А = 70° - ЛС.
Для знаходження невідомих сторін трикутника використовуємо теорему синусів:
a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C),
де a, b, c - сторони трикутника, A, B, C - кути напроти відповідних сторін.
Маємо: AB = 6 см, AC = 10 см, LA = 110°.
Знаходимо сторону ВС:
BC / sin(A) = AC / sin(LС)
BC = AC * sin(A) / sin(LС).
Знаходимо сторону ВА:
BA / sin(LА) = AC / sin(LС)
BA = AC * sin(LА) / sin(LС).
Таким чином, маємо значення сторін ВС і ВА.
4. Радіус вписаного кола в трикутник можна знайти за формулою:
r = S / p,
де S - площа трикутника, p - півпериметр трикутника.
Спочатку знайдемо півпериметр t:
t = (a + b + c) / 2,
де a, b, c - сторони трикутника.
Підставимо дані і знайдемо t.
Площу трикутника S можна знайти за формулою Герона:
S = √(t * (t - a) * (t - b) * (t - c)).
Підставимо значення периметра та сторін в формулу і знайдемо площу S.
Остаточно, радіус вписаного кола дорівнюватиме r = S / t.
5. Медіана трикутника, проведена до більшої сторони, ділить її на дві рівні частини. Значить, медіана дорівнює половині більшої сторони.
Таким чином, медіана трикутника, проведена до його більшої сторони, дорівнює 12 см / 2 = 6 см.