У циліндрі, паралельно його осі проведено площину. Вона перетинає нижню основну по хорді, яку видно з центра цієї основи під кутом а. Відрізок, що сполучає центр верхньої основи з точкою кола нижньої основи, утворює з площиною основи кут ф. Відстань від площини перерізу до осі циліндра дорівнює а. Знайдіть площу цього перерізу.
Ответы
Направляющие цилиндра параллельны оси.
Плоскость, проходящая через две направляющие, параллельна оси.
Направляющие равны, параллельны и перпендикулярны основаниям.
Сечение, параллельное оси цилиндра – прямоугольник.
Чтобы найти его площадь, найдем хорду AB и направляющую AA1.
Расстояние от параллельной прямой до плоскости - длина перпендикуляра из любой точки прямой на плоскость.
Проведем перпендикуляр OM из центра к хорде, OM⊥AB.
Направляющая AA1 перпендикулярна основанию, следовательно перпендикулярна любой прямой в основании, AA1⊥OM.
Отрезок OM перпендикулярен двум пересекающимся прямым в плоскости сечения, следовательно перпендикулярен плоскости сечения. OM - расстояние от оси до плоскости сечения, OM=a.
Рассмотрим △AOB.
△AOB - р/б (радиусы равны), OM - высота/медиана/биссектриса.
∠AOB=α, ∠AOM=α/2
AM/OM =tg(AOM) => AM =a tg(α/2) => AB =2a tg(α/2)
Направляющая AA1 равна оси OO1 (расстояние между параллельными плоскостями постоянно).
Рассмотрим △OO1C.
Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией.
Ось OO1 перпендикулярна основанию, OC - проекция наклонной O1C на основание, ∠O1OC=ф
OM/OA =cos(α/2) => OA =a/cos(α/2) =OC
OO1/OC =tgф => OO1 =a/cos(α/2) *tgф =AA1
S(AA1B1B) =AB*AA1 =2a^2 tg(α/2) tgф/cos(α/2)
