Question

Обчислити довжину кола ............. .

Answer 1

Ответ:

$l=2\pi R$

Объяснение:

Формула длины дуги

$\displaystyle l = \int\limits^a_b {\sqrt{1+(y'(x))^2} } \,\; dx$

Найдем  производную от

x² - y² - R^2 =0

как от неявной функции

$\displaystyle \bigg(x^2-y^2-R^2\bigg)'_x-2x+2y*y'_x=0$

тогда

$\displaystyle y'_x=-\frac{x}{y} ; \qquad (y'_x)^2=\frac{x^2}{y^2}$

из формулы окружности y² = R² - x²

тогда

$\displaystyle (y'_x)^2=\frac{x^2}{R^2-x^2} \\\\\\1+(y'_x)^2=1+\frac{x^2}{R^2-x^2} =\frac{R^2}{R^2-x^2}$

Рассчитаем по формуле длину дуги четверти окружности

$\displaystyle \frac{l}{4} =\int\limits^R_0 {\sqrt{\frac{R^2}{R^2-x^2} } } \, dx =\int\limits^R_0 {\frac{R}{\sqrt{R^2-x^2} } } \, dx =R*arcsin\bigg(\frac{x}{R} \bigg)\bigg|_0^R=R*\frac{\pi }{2}$

вся окружность

$\displaystyle R*\frac{\pi }{2} *4=2\pi R$

что и требовалось доказать.