Question

В арифметической прогрессии известны а1 = 7, а5 = 27 . Сумма первых п членов прогрессии равна 117. Найдите число членов прогрессии.
Один правильный ответ
A) 8
B) 7
C) 6
D) 5
E) 9

Answer 1

Ответ:

Число членов прогрессии равно 6

Решение:

По условию:

$a_1=7;\ a_5=27$

Распишем пятый член:

$a_1+4d=27$

Подставим значение первого члена и найдем разность прогрессии:

$7+4d=27$

$4d=27-7$

$4d=20$

$d=20:4$

$d=5$

Рассмотрим условие о сумме:

$S_n=117$

Распишем по формуле суммы первых n членов:

$\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n=117$

Подставим известные значения первого члена и разности:

$\dfrac{2\cdot7+5(n-1)}{2} \cdot n=117$

$(14+5n-5) \cdot n=117\cdot 2$

$(9+5n) \cdot n=234$

$5n^2+9n-234=0$

$D=9^2-4\cdot5\cdot(-234)=81+4680=4761$

$n_1\neq \dfrac{-9-\sqrt{4761} }{2\cdot 5} < 0$

$n_2= \dfrac{-9+\sqrt{4761} }{2\cdot 5} = \dfrac{-9+69 }{2\cdot 5} =\boxed{6}$

Первое значение n не удовлетворяет смыслу задачи, так как число членов прогрессии должно быть натуральным.

Значит, число членов прогрессии равно 6.

Элементы теории:

Формула n-ого члена арифметической прогрессии:

$a_n=a_1+d(n-1)$

Сумма первых n членов арифметической прогрессии:

$S_n=\dfrac{2a_1+d(n-1)}{2} \cdot n$