sin²x-4cosx-1=0
Решите,пожалуйста.
Ответы
Відповідь:
Давайте розв'яжемо рівняння \(\sin^2(x) - 4\cos(x) - 1 = 0\).
Для спрощення, позначимо \(\sin(x)\) через \(s\) і \(\cos(x)\) через \(c\):
Отже, рівняння стає \(s^2 - 4c - 1 = 0\).
Розглянемо рівняння відносно \(c\): \(4c = s^2 - 1\), звідки \(c = \frac{s^2 - 1}{4}\).
Оскільки \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) (ідентичність Піфагора), то \(s^2 + c^2 = 1\).
Підставимо вираз для \(c\) в це рівняння:
\[s^2 + \left(\frac{s^2 - 1}{4}\right)^2 = 1.\]
Розширимо і спростимо:
\[s^2 + \frac{s^4 - 2s^2 + 1}{16} = 1.\]
Помножимо обидва боки на 16:
\[16s^2 + s^4 - 2s^2 + 1 = 16.\]
Помітимо, що \(16s^2\) може бути зведено до \((4s)^2\):
\[(4s)^2 + s^4 - 2s^2 + 1 - 16 = 0.\]
Тепер введемо нову змінну \(t = s^2\):
\[(4t)^2 + t^2 - 2t + 1 - 16 = 0.\]
Розширимо і спростимо:
\[16t^2 + t^2 - 2t - 15 = 0.\]
Зведемо подібні члени:
\[17t^2 - 2t - 15 = 0.\]
Тепер ми можемо вирішити квадратне рівняння для \(t\). Для цього використаємо дискримінант:
\[D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4(17)(-15) = 4 + 1020 = 1024.\]
Таким чином, дискримінант додатній, і у нас є два корені:
\[t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{1024}}{34}.\]
Отже, \(t_1 = \frac{2 + 32}{34} = \frac{17}{17} = 1\) і \(t_2 = \frac{2 - 32}{34} = \frac{-15}{17}\).
Так як \(t = s^2\), ми отримаємо два значення для \(s\): \(s_1 = 1\) і \(s_2 = \sqrt{\frac{-15}{17}}\).
Оскільки \(\sin(x) = s\), ми вже маємо \(\sin(x) = 1\) (що відповідає \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), де \(k\) - це ціле число) та \(\sin(x) = \sqrt{\frac{-15}{17}}\). Однак останнє значення не є допустимим, оскільки \(\sin(x)\) завжди лежить в інтервалі \([-1, 1]\).
Отже, розв'язок рівняння \(\sin^2(x) - 4\cos(x) - 1 = 0\) - це \(x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\), де \(k\) - це ціле число.
Покрокове пояснення: