Question

Подати дріб у вигляді суми найпростіших дробів та обчислити його інтеграл.

Answer 1

Ответ:

Разложим правильную дробь на сумму простейших дробей .

$\bf \displaystyle \frac{x^3+1}{x^5-3x^3+2x^2}=\frac{x^3+1}{x^2\, (x^3-3x+2)}=\frac{x^3+1}{x\, (x-1)(x^2+x-2)}=\\\\\\=\frac{x^3+1}{x\, (x-1)^2(x+2)}$        

$\bf \displaystyle \frac{x^3+1}{x\, (x-1)^2(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+2}\\\\\\x^3+1=A(x-1)^2(x+2)+Bx(x+2)+Cx(x-1)(x+2)+Dx(x-1)^2\\\\x=0\ \ \to \ \ A=\frac{1}{2}\\\\x=1\ \ \to \ \ B=\frac{2}{3}\\\\x=-2\ \ \to \ \ D=\frac{-7}{-2\cdot 9}=\frac{7}{18}$  

Приравняем коэффициенты при старшей степени  х³ :  

$\bf x^3\ |\ 1=A+C+D\ \ ,\ \ 1=\dfrac{1}{2}+C+\dfrac{7}{18}\ ,\ C=1-\dfrac{1}{2}-\dfrac{7}{18}=\dfrac{1}{9}$          

Вычислим интеграл .

$\bf \displaystyle \int \frac{x^3+1}{x^5-3x^3+2x^2}\, dx=\int \frac{x^3+1}{x\, (x-1)^2(x+2)}\, dx=\\\\\\=\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x}+\frac{2}{3}\int \frac{dx}{(x-1)^2}+\frac{1}{9}\int \frac{dx}{x-1}+\frac{7}{18}\int \frac{dx}{x+2}=\\\\\\=\frac{1}{2}\ ln|\, x\, |-\frac{2}{3(x-1)}+\frac{1}{9}\ ln|\, x-1\, |+\frac{7}{18}\ ln|\, x+2\, |+C$