Один моль одноатомного идеального газа со- вершает циклический процесс 1—2—3—4—1, график которого изображен на рисунке 34.6. Температура газа в 1-м состоянии 100 к. Работа, совершенная газом за цикл, равна 16,6 кДж. Найдите количество молей газа. (Ответ: 2 моля)
Ответы
Ответ:
Объяснение:
Для решения этой задачи воспользуемся первым законом термодинамики:
∆U = Q - W,
где ∆U - изменение внутренней энергии газа, Q - количество теплоты, полученное или отданное газом, W - работа, совершенная газом.
Так как газ идеальный, то ∆U = 0 (изменение внутренней энергии зависит только от изменения температуры), поэтому уравнение можно переписать в виде:
Q = W.
Также известно, что работа, совершенная газом за цикл, равна 16,6 кДж.
Для нахождения количества молей газа воспользуемся уравнением состояния идеального газа:
PV = nRT,
где P - давление газа, V - объем газа, n - количество молей газа, R - универсальная газовая постоянная, T - температура газа.
На графике видно, что газ проходит цикл по замкнутой кривой. Поэтому начальное и конечное состояния газа совпадают: P1 = P4 и V1 = V4.
Также на графике видно, что газ в состояниях 1 и 3 находится при одинаковом объеме. Поэтому V1 = V3.
Таким образом, у нас есть следующие равенства:
P1 = P4,
V1 = V4,
V1 = V3.
Из уравнения состояния газа можно выразить количество молей газа:
n = PV / RT.
Так как P1 = P4, V1 = V4 и V1 = V3, то:
n = P1V1 / RT.
Теперь подставим известные значения:
P1 = P4 - давление газа в состоянии 1,
V1 = V3 - объем газа в состоянии 1,
R - универсальная газовая постоянная,
T - температура газа в состоянии 1.
Температура газа в состоянии 1 равна 100 К.
Таким образом, количество молей газа равно:
n = P1V1 / RT = P4V4 / RT.
Так как нам известна работа, совершенная газом за цикл (W = 16,6 кДж), то мы можем использовать уравнение Q = W для нахождения количества теплоты Q, полученной или отданной газом.
Q = W = 16,6 кДж.
Теперь мы можем использовать уравнение Q = nC∆T, где C - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме, ∆T - изменение температуры газа.
Так как газ идеальный, то C = Cv, где Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме для одной моли.
Также известно, что изменение температуры газа равно разности температур в начальном и конечном состояниях: ∆T = T2 - T1.
Таким образом, у нас есть следующее равенство:
Q = nCv∆T.
Подставим известные значения:
Q = 16,6 кДж,
Cv - молярная теплоемкость газа при постоянном объеме для одной моли,
∆T = T2 - T1.
Теперь мы можем выразить количество молей газа:
n = Q / (Cv∆T) = 16,6 кДж / (Cv∆T).
Таким образом, количество молей газа равно:
n = P1V1 / RT = P4V4 / RT = 16,6 кДж / (Cv∆T).
Остается только найти значение Cv и ∆T. Для этого нужно знать состояния 2 и 3 газа.
По графику видно, что газ в состоянии 2 находится при температуре 200 К. Таким образом, ∆T = T2 - T1 = 200 К - 100 К = 100 К.
Теперь нам нужно найти значение Cv. Для этого воспользуемся уравнением Майера:
Cp - Cv = R,
где Cp - молярная теплоемкость газа при постоянном давлении для одной моли.
Так как газ одноатомный, то Cp = Cv + R.
Таким образом, у нас есть следующее равенство:
Cv + R - Cv = R,
откуда следует, что Cv = R.
Теперь мы можем выразить количество молей газа:
n = P1V1 / RT = P4V4 / RT = 16,6 кДж / (Cv∆T) = 16,6 кДж / (R∆T).
Остается только найти значение R. Для этого нужно знать значение универсальной газовой постоянной.
Значение универсальной газовой постоянной R составляет приблизительно 8,314 Дж/(моль·К).
Теперь мы можем выразить количество молей газа:
n = P1V1 / RT = P4V4 / RT = 16,6 кДж / (R∆T) = 16,6 кДж / (8,314 Дж/(моль·К) * 100 К).
Подставим значения и выполним вычисления:
n = 16,6 кДж / (8,314 Дж/(моль·К) * 100 К) ≈ 0,2 моль.
Таким образом, количество молей газа равно примерно 0,2 моль.