Question

Спростити вираз
((2+sqrt(3))/(sqrt(2)+sqrt(2+sqrt(3)))+(2-sqrt(3))/(sqrt(2)-sqrt(2-sqrt(3))))

Answer 1

Ответ:

Нам потребуется выделение полного квадрата из подкоренного выражения . Я заранее напишу эти действия , чтобы потом было понятно, что откуда берётся .

$\bf 2+\sqrt3=\dfrac{2\cdot (2+\sqrt3)}{2}=\dfrac{1}{2}\cdot (4+2\sqrt3)=\dfrac{1}{2}\cdot (3+2\cdot 1\cdot \sqrt3+1)=\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot (\underbrace{\bf (\sqrt3)^2+2\cdot 1\cdot \sqrt3+1^2}_{a^2+2ab+b^2})=\dfrac{1}{2}\cdot (\sqrt3+1)^2\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot (\sqrt3+1)^2}=\dfrac{|\, \sqrt3+1\, |}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3+1}{\sqrt2}\ \ ,\ tak\ kak\ (\sqrt3+1) > 0$  

Аналогично

$\bf 2+\sqrt3=\dfrac{1}{2}\cdot (4-2\sqrt3)=\dfrac{1}{2}\cdot (3-2\cdot \sqrt3+1)=\dfrac{1}{2}\cdot (\underbrace{\bf (\sqrt3)^2-2\cdot 1\cdot \sqrt3+1^2}_{a^2+2ab+b^2})=\\\\\\=\dfrac{1}{2}\cdot (\sqrt3-1)^2\ \ \ \Rightarrow \\\\\\\sqrt{\dfrac{1}{2}\cdot (\sqrt3-1)^2}=\dfrac{|\, \sqrt3-1\, |}{\sqrt2}=\dfrac{\sqrt3-1}{\sqrt2}\ \ ,\ tak\ kak\ (\sqrt3-1) > 0$

Теперь упростим выражение .

$\bf \displaystyle \frac{2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt{2+\sqrt3}}+\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt{2-\sqrt3}}=\\\\\\=\frac{2+\sqrt3}{\sqrt2+\sqrt{\dfrac{4+2\sqrt3}{2}}}+\frac{2-\sqrt3}{\sqrt2-\sqrt{\dfrac{4-2\sqrt3}{2}}}=\\\\\\=\frac{\sqrt2\, (2+\sqrt3)}{2+\sqrt{4+2\sqrt3}}+\frac{\sqrt2\, (2-\sqrt3)}{2-\sqrt{4-2\sqrt3}}=\\\\\\=\frac{\sqrt2\, (2+\sqrt3)}{2+\sqrt{(\sqrt3+1)^2}}+\frac{\sqrt2\, (2-\sqrt3)}{2+\sqrt{(\sqrt3-2)^2}}=\frac{\sqrt2\, (2+\sqrt3)}{2+|\sqrt3+1|}+\frac{\sqrt2\, (2-\sqrt3)}{2+|\sqrt3-1|}=$  

$\bf \displaystyle =\frac{\sqrt2\, (2+\sqrt3)}{2+(\sqrt3+1)}+\frac{\sqrt2\, (2-\sqrt3)}{2-(\sqrt3-1)}=\frac{\sqrt2\, (2+\sqrt3)}{3+\sqrt3}+\frac{\sqrt2\, (2-\sqrt3)}{3-\sqrt3}=\\\\\\=\frac{\sqrt2\, (2+\sqrt3)(3-\sqrt3)+\sqrt2\, (2-\sqrt3)(3+\sqrt3)}{(3+\sqrt3)(3-\sqrt3))}=\\\\\\=\frac{\sqrt2\, (6-2\sqrt3+3\sqrt3-3)+\sqrt2\, (6+2\sqrt3-3\sqrt3-3)}{3^2-(\sqrt3)^2}=\\\\\\=\frac{12\sqrt2-6\sqrt2}{9-3}=\frac{6\sqrt2}{6}=\sqrt2$