Скласти рівняння площини, що проходить через лінію перетину площин
3x - y + 2z + 9 = 0, x + z - 3 = 0 i через точку М(4,-2,-3).
Потрібен нормальний розпис вирішення
Ответы
Скласти рівняння площини, що проходить через лінію перетину площин 3x - y + 2z + 9 = 0, x + z - 3 = 0 i через точку М(4,-2,-3).
Эту задачу можно решить двумя способами.
1) С определением нормального вектора искомой плоскости по векторам заданных плоскостей.
{3x - y + 2z + 9 = 0,
{x + z - 3 = 0.
Из уравнений плоскостей находим их нормальные векторы.
N1(3; -1; 2), N2(1; 0; 1).
Найдём направляющий вектор прямой как результат векторного произведения нормальных векторов заданных плоскостей.
i j k| i j
3 -1 2| 3 -1
1 0 1| 1 0 = -1i + 2j + 0k – 3j – 0i + 1k =
= -1i – 1j + 1k.
Получен вектор N3(-1; -1; 1) – он будет нормальным вектором для искомой плоскости.
По этому вектору и точке М(4,-2,-3) составляем уравнение плоскости.
Для составления уравнения плоскости используем формулу:
nx(x - xA) + ny(y - yB) + nz(z - zC) = 0
-1(x – 4) + (-1)(y + 2) + 1(z + 3) = 0,
-x + 4 – y – 2 + z + 3 = 0,
x + y – z - 5 = 0.
2) С применением формулы плоскости по двум векторам и точке.
Дана прямая как линия пересечения плоскостей
{3x - y + 2z + 9 = 0,
{x + z - 3 = 0.
Из уравнений плоскостей находим их нормальные векторы.
N1(3; -1; 2), N2(1; 0; 1).
Искомая плоскость будет параллельна этим векторам.
Используем формулу уравнения плоскости, параллельной двум векторам и проходящей через точку Mo(xo; yo; zo).
x – xo y – yo z – zo
N1(x) N1(y) N1(z)
N2(x) N2(y) N2(z) = 0.
Подставляем данные.
x – 4 y + 2 z + 3
3 -1 2
1 0 1 = 0.
(x – 4)(-1*1 – 2*0) – (y + 2)(3*1 – 2*1) + (z + 3)(3*0 – (-1)*1) =
= (x – 4)*(-1) – (y + 2)*1 + (z + 3)*1 = 0.
-x – y + z + 5 = 0 или
x + y - z - 5 = 0.