Question

Даны вершины треугольника A(-1;-3), B(5;0), C(2;3). Найти:
1) длины сторон треугольника ABС;
2) тангенсы внутренних углов треугольника ABС;
3) уравнение высоты, проведенной через вершину C;
4) уравнение медианы, проведенной через вершину C;
5) точку пересечения высот треугольника;
6) длину высоты, опущенной из вершины C;
7) систему линейных неравенств, определяющих треугольник ABC.
8) сделать чертеж.
пожалуйста помогите,очень нужно!!!!!!!!!!!!​

Answer 1

Відповідь:

1) Длины сторон треугольника ABС:

AB = √[(5 - (-1))^2 + (0 - (-3))^2] = √[36 + 9] = √45 = 3√5

BC = √[(2 - 5)^2 + (3 - 0)^2] = √[9 + 9] = 3

AC = √[(-1 - 2)^2 + (-3 - 3)^2] = √[9 + 36] = √45 = 3√5

2) Тангенсы внутренних углов треугольника ABС:

tg(∠A) = (3 - (-3))/(2 - (-1)) = 2

tg(∠B) = (3 - 0)/(-1 - 5) = -3/4

tg(∠C) = (-3 - 0)/(5 - 2) = -1

3) Уравнение высоты, проведенной через вершину C:

Уравнение прямой, проходящей через точки A и B:
y + 3 = (0 - (-3))/(5 - (-1))(x + 1)
y + 3 = (3/2)(x + 1)
y = (3/2)x - 9/2

Уравнение прямой, перпендикулярной AB и проходящей через точку C:
y - 3 = (-2/3)(x - 2)
y = (-2/3)x + 8/3

Точка пересічення цих прямих є вершиною С, тому вона задовольняє обидва рівняння:

(-2/3)x + 8/3 = (3/2)x - 9/2
x = 6
y = -1

Отже, вершина C має координати (6; -1). Висота проведена з неї перпендикулярно стороні AB і має рівняння:

x = 6

4) Уравнение медианы, проведенной через вершину C:

Медіана, проведена з вершини C, ділить сторону AB пополам. Точка перетину медіани і сторони AB має координати ((-1 + 5)/2; (-3 + 0)/2) = (2; -3/2).

Уравнення прямої, проходящої через точки C і (2; -3/2):
y + 1 = (-3/2 - (-1))/(6 - 2)(x - 6)
y + 1 = (1/8)(x - 6)
y = (1/8)x - 25/8

5) Точка пересечення висот треугольника:

Висота, проведена з вершини A, має рівняння y = -3. Висота, проведена з вершини B, має рівняння y = (3/5)x - 9/5. Їх точка перетину - це точка пересічення висот треугольника:

-3 = (3/5)x - 9/5
x = 6
y = -3

Отже, точка перетину висот має координати (6; -3).

6) Довжина висоти, опущеної з вершини C:

Висота, проведена з вершини C, є відрізком між точкою C і прямою AB, перпендикулярною йому. Точка перетину цих прямих має координати (6; -3/2). Висота має довжину:

√[(6 - 2)^2 + (-1 - (-3/2))^2] = √[16 + 1/4] = √(65)/2

7) Система лінійних нерівностей, що визначає треугольник ABC:

Для того, щоб треугольник існував, будь-які дві сторони мають бути довшими за третю. Отже, маємо систему нерівностей:

AB < AC + BC
BC < AB + AC
AC < AB + BC

Підставляємо значення сторін:

3√5 < 3 + √45
3 < 3√5 + √45
3√5 < 3 + 3

Отже, система нерівностей виконується.

8) Чертеж:

(додається у відповідь)